Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $\dfrac{1}{p-a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}$.
Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi $\dfrac{1}{p-a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}$.
Bắt đầu bởi Katyusha, 20-12-2017 - 10:11
#1
Đã gửi 20-12-2017 - 10:11
#2
Đã gửi 20-12-2017 - 10:30
Mình sẽ chứng minh 1 chiều thôi còn chiều ngược lại bạn tự chứng minh tương tự nhé.
$$\frac{1}{p-a}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}$$
$$\frac{a}{p(p-a)}=\frac{2p-b-c}{(p-b)(p-c)}$$
Vì $2p=a+b+c$ nên $a=2p-b-c$.
Suy ra $p(p-a)=(p-b)(p-c)$.
$$p^2-ap=p^2-(b+c)p+bc$$
$$p(b+c-a)=bc$$
$$(a+b+c)(b+c-a)=2bc$$
$$(b+c)^2-a^2=2bc$$
$$b^2+c^2=a^2$$
Do đó $ABC$ vuông tại $A$.
$$\frac{1}{p-a}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}$$
$$\frac{a}{p(p-a)}=\frac{2p-b-c}{(p-b)(p-c)}$$
Vì $2p=a+b+c$ nên $a=2p-b-c$.
Suy ra $p(p-a)=(p-b)(p-c)$.
$$p^2-ap=p^2-(b+c)p+bc$$
$$p(b+c-a)=bc$$
$$(a+b+c)(b+c-a)=2bc$$
$$(b+c)^2-a^2=2bc$$
$$b^2+c^2=a^2$$
Do đó $ABC$ vuông tại $A$.
#3
Đã gửi 20-12-2017 - 16:10
Vì bài này điều kiện là $1$ đẳng thức nên ta biến đổi tương đương để không cần chứng minh $2$ chiều.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh