Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi $\dfrac{1}{p-a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $\dfrac{1}{p-a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}$.



#2
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
Mình sẽ chứng minh 1 chiều thôi còn chiều ngược lại bạn tự chứng minh tương tự nhé.
$$\frac{1}{p-a}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}$$
$$\frac{a}{p(p-a)}=\frac{2p-b-c}{(p-b)(p-c)}$$
Vì $2p=a+b+c$ nên $a=2p-b-c$.
Suy ra $p(p-a)=(p-b)(p-c)$.
$$p^2-ap=p^2-(b+c)p+bc$$
$$p(b+c-a)=bc$$
$$(a+b+c)(b+c-a)=2bc$$
$$(b+c)^2-a^2=2bc$$
$$b^2+c^2=a^2$$
Do đó $ABC$ vuông tại $A$.

#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Vì bài này điều kiện là $1$ đẳng thức nên ta biến đổi tương đương để không cần chứng minh $2$ chiều. 


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh