Chủ đề này có 1 trả lời

[anhquannbk]

Cho $A_n= [a_{ij}]_n \in Mat(n, \mathbb{R}), n \ge 3$, trong đó $ a_{ij}= \pm 1$. Chứng minh rằng:

$ |detA_n| \le (n-1)(n-1)! $

[WhjteShadow]

Cho $A_n= [a_{ij}]_n \in Mat(n, \mathbb{R}), n \ge 3$, trong đó $ a_{ij}= \pm 1$. Chứng minh rằng:

$ |detA_n| \le (n-1)(n-1)! $

Mình có biết bất đẳng thức này đơn giản mà mạnh hơn điều cần chứng minh cho trường hợp $n\geq 4$

Với $A = (v_1 | v_2 | \dots | v_n)$ là một ma trận $n\times n$, các $v_i$ là các cột $n\times 1$ thì

$$ |\det(A)| \leq |v_1| |v_2| \cdots |v_n|,$$

với $|v_i|$ là độ dài của vector $v_i$ (chuẩn $\left \| \cdots \right \|_2$).

 

Chứng minh cực kì đơn giản:Sử dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt cho hệ vector $v_1,v_2,\dots, v_n$ ta nhận được $w_1,w_2,\cdots,w_n$. Để ý quan hệ của $v_i$ với $w_i$, dễ dàng chứng minh rằng

$$\det(A) = \det(w_1 | w_2 | \cdots | w_n) = |w_1| |w_2| \cdots |w_n|.$$

Mặt khác, $|w_i| \leq |v_i| \,\, \forall \, i$ (vì quá trình trực giao hóa về cơ bản chỉ là biến vector thành chân đường vuông góc, mà cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh huyền) (hoặc có thể chứng minh bằng đại số cũng được). Vậy 

$$ |\det(A)| \leq |v_1| |v_2| \cdots |v_n|.$$

Áp dụng vào bài toán trên, ta có

$$ \det(A_n)| \leq n^{n/2} < (n-1)(n-1)!,$$

với mọi $n\geq 4$.

Với $n=3$ xác suất $\det(A_n) = 0$ cũng khá lớn, xét thêm vài trường hợp chắc là được  

Nhưng mà chắc ý tưởng chứng minh của bất đẳng thức của bạn không giống với cái mình trình bày ở trên. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-12-2017 - 10:05