Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xy).gcd(f(x)f(y),f(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y}))=xyf(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y})$

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$$f(xy).gcd\left(f(x)f(y),f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right)=xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right) \forall x,y \in \mathbb{Q}^+$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 22-12-2017 - 12:16

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
 Giả sử hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$$f(xy).gcd(f(x)f(y),f(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y}))=xyf(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y}) \forall x,y \in \mathbb{Q}^+(1)$$
$T_1(x,\frac{1}{x})\Rightarrow f(1).f(x).f(\frac{1}{x})=f(x).f(\frac{1}{x})\forall x \Rightarrow f(1)=1(do f(x)\in \mathbb{Z}^+)$
$T_1(x,1)\Rightarrow f(x).gcd(f(x),f(\frac{1}{x}))=x.f(\frac{1}{x})\forall x (2)$
$T_2(\frac{1}{x})\Rightarrow f(\frac{1}{x}).gcd(f(x),f(\frac{1}{x}))=\frac{1}{x}.f(x)\forall x$
$\Rightarrow gcd(f(x),f(\frac{1}{x}))=1 \forall x \Rightarrow f(x)=xf(\frac{1}{x})\forall x$
$T_1(a,b)$(với $a,b\in \mathbb{Z}^+$)$\Rightarrow f(ab).gcd(abf(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b}),f(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b}))=abf(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b})$
$\Rightarrow f(ab).f(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b})=abf(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b})\Rightarrow f(ab)=ab\Rightarrow f(x)=x \forall x \in \mathbb{Z}^+$và$f(\frac{1}{x})=1\forall x \in \mathbb{Z}^+$
Xét $x=\frac{p}{q}$ với $p,q\in \mathbb{Z}^+,(p,q)=1$:
$T_1(p,\frac{1}{q})\Rightarrow f(\frac{p}{q}).gcd(f(p)f(\frac{1}{q}),f(\frac{1}{p}).f(q))=\frac{p}{q}.f(\frac{1}{p}).f(q) $
$\Rightarrow f(\frac{p}{q}).gcd(p,q)=\frac{p}{q}.q$
$\Rightarrow f(\frac{p}{q})=p$
Vậy $f(\frac{p}{q})=p\forall p,q\in \mathbb{Z}^+,(p,q)=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 24-12-2017 - 21:27

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Đây là Benelux 2017 



#4
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Đây là Benelux 2017 

Chính xác rồi em, nằm trong dự án này của mình.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-01-2018 - 16:00

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh