Đến nội dung

Hình ảnh

$rank(AB) \le rank(B)-1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Cho $A, B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ sao cho $A^{2017}=0, AB=BA, B \ne 0$.

Chứng minh rằng $rank(AB) \le rank(B)-1$



#2
LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

Gọi f và g là các ánh xạ tưng ứng với 2 ma trận A và B 

Xét đa thức $P(x)=x^{2017} $ và P(A)=0 suy ra đa thức tối thiểu có dạng $x^{k}$  tồn tại trị riêng $\lambda =0  $  tức $kerf  \neq  0 $

 

$ker fg =kerf +kerg mà ker f \geq 1  \Rightarrow ker fg -1\geq ker B  $

 

Sử dụng thêm định lý dim $ker \varphi  =n-dim im \varphi  $ 
 



#3
san1201

san1201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Cho $A, B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ sao cho $A^{2017}=0, AB=BA, B \ne 0$.
Chứng minh rằng $rank(AB) \le rank(B)-1$

Giả sử rankBA=rank AB=rank B
nên dim Im BA=dim Im AB=dim Im B
nhưng do $ImBA \subset Im B$ nên ImBA=ImB
bằng qui nạp kết hợp AB=BA ta có
$ImA^{2017}B=ImB$
vô lí.nên ta có rank AB <r ank B

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 31-01-2019 - 20:49





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh