Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

đa thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ben Beck

Ben Beck

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Đã gửi 24-12-2017 - 10:08

Cho $a_{i},$ với $i=\overline{1, n}$ là những số nguyên phân biệt.

a. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})-1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

b. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=\left ( x-a_{1} \right )^{2}\left ( x-a_{2} \right )^{2}...\left ( x-a_{n} \right )^{2}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

Với $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 26-12-2017 - 10:47


#2 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin trường ĐH KHTN TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Algebraic Topology and Algebraic Geometry

Đã gửi 26-12-2017 - 11:42

Cho $a_{i},$ với $i=\overline{1, n}$ là những số nguyên phân biệt.

a. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})-1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

b. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=\left ( x-a_{1} \right )^{2}\left ( x-a_{2} \right )^{2}...\left ( x-a_{n} \right )^{2}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

Với $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên.

a. Giải sử đa thức $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

Đặt $P(x)=Q(x).R(x),$ với $Q(x)$ và $R(x)$ là các đa thức bậc khác $0.$

Khi đó ta có: $Q(a_{i}).R(a_{i})=-1,$ nên suy ra $Q(a_{i})=-R(a_{i})$ và $\left | Q(a_{i}) \right |=\left | R(a_{i}) \right |=1$ hay $Q(a_{i})+R(a_{i})=0,$ với $i=\overline{1, n}.$

Ta xét đa thức: $Q(x)+R(x),$ đa thức này có bậc nhỏ hơn $n$ nhưng lại có $n$ nghiệm là $a_{i},$ với $i=\overline{1, n}$ nên $Q(x)+R(x)=0$ hay $Q(x)=-R(x),$ từ đây suy ra: $P(x)=Q(x).R(x)=-R(x)^{2},$ nhưng điều này vô lý vì hệ số cao nhất ở vế trái là số dương còn vế phải là số âm. Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

b. Giả sử đa thức $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$

Đặt $P(x)=Q(x).R(x),$ với $Q(x)$ và $R(x)$ là các đa thức bậc khác $0.$ 

Vì $P(x)> 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên $Q(x)$ và $R(x)$ vô nghiệm và cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử $Q(x), R(x)> 0, \forall x\in \mathbb{R}.$

Ta có: $P(a_{i})=Q(a_{i}).R(a_{i})=1$ nên $Q(a_{i})=R(a_{i})=1,$ với $i=\overline{1, n}.$

Giả sử $degQ< n,$ mà ta có: $Q(x)-1$ có $n$ nghiệm nên $Q(x)-1=0$ hay $Q(x)=1,$ vô lý vì $degQ> 0.$ Vậy $degQ=degR=n.$

Từ đó ta có: $Q(x)-1=A.(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n}),$ với $A\in \mathbb{R}.$

                    $R(x)-1=B.(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n}),$ với $B\in \mathbb{R}.$

Thay vào đa thức $P(x)$ và đồng nhất hệ số cao nhất và hệ số tự do ta suy ra: $AB=1$ và $A+B=0.$

Suy ra: $1=AB=-B^{2},$ vô lý. Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$



#3 stephen curry

stephen curry

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Đã gửi 11-05-2019 - 15:54

anh ơi làm thêm về công thức nội suy luôn







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh