Cho $a_{i},$ với $i=\overline{1, n}$ là những số nguyên phân biệt.
a. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})-1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$
b. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=\left ( x-a_{1} \right )^{2}\left ( x-a_{2} \right )^{2}...\left ( x-a_{n} \right )^{2}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$
Với $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên.
a. Giải sử đa thức $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$
Đặt $P(x)=Q(x).R(x),$ với $Q(x)$ và $R(x)$ là các đa thức bậc khác $0.$
Khi đó ta có: $Q(a_{i}).R(a_{i})=-1,$ nên suy ra $Q(a_{i})=-R(a_{i})$ và $\left | Q(a_{i}) \right |=\left | R(a_{i}) \right |=1$ hay $Q(a_{i})+R(a_{i})=0,$ với $i=\overline{1, n}.$
Ta xét đa thức: $Q(x)+R(x),$ đa thức này có bậc nhỏ hơn $n$ nhưng lại có $n$ nghiệm là $a_{i},$ với $i=\overline{1, n}$ nên $Q(x)+R(x)=0$ hay $Q(x)=-R(x),$ từ đây suy ra: $P(x)=Q(x).R(x)=-R(x)^{2},$ nhưng điều này vô lý vì hệ số cao nhất ở vế trái là số dương còn vế phải là số âm. Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$
b. Giả sử đa thức $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$
Đặt $P(x)=Q(x).R(x),$ với $Q(x)$ và $R(x)$ là các đa thức bậc khác $0.$
Vì $P(x)> 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên $Q(x)$ và $R(x)$ vô nghiệm và cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử $Q(x), R(x)> 0, \forall x\in \mathbb{R}.$
Ta có: $P(a_{i})=Q(a_{i}).R(a_{i})=1$ nên $Q(a_{i})=R(a_{i})=1,$ với $i=\overline{1, n}.$
Giả sử $degQ< n,$ mà ta có: $Q(x)-1$ có $n$ nghiệm nên $Q(x)-1=0$ hay $Q(x)=1,$ vô lý vì $degQ> 0.$ Vậy $degQ=degR=n.$
Từ đó ta có: $Q(x)-1=A.(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n}),$ với $A\in \mathbb{R}.$
$R(x)-1=B.(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n}),$ với $B\in \mathbb{R}.$
Thay vào đa thức $P(x)$ và đồng nhất hệ số cao nhất và hệ số tự do ta suy ra: $AB=1$ và $A+B=0.$
Suy ra: $1=AB=-B^{2},$ vô lý. Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x].$