Cho dãy số nguyên dương $(a_{n})$ với $\left\{\begin{matrix} a_{1}=1; a_{2}=2\\ a_{n+2}=4a_{n+1}+a_{n}; n\geq 1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $a_{n}a_{n+2}+(-1)^{n}.5$ là số chính phương với mọi nguyên dương n
$\left\{\begin{matrix} a_{1}=1; a_{2}=2\\ a_{n+2}=4a_{n+1}+a_{n}; n\geq 1 \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi ThuThao36, 24-12-2017 - 10:20
#1
Đã gửi 24-12-2017 - 10:20
ThuThao36
-
- Thành viên
-
- 220 Bài viết
Thượng sĩ
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...." 
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
#2
Đã gửi 24-12-2017 - 16:04
anhquannbk
-
- Thành viên
-
- 477 Bài viết
Sĩ quan
Cho dãy số nguyên dương $(a_{n})$ với $\left\{\begin{matrix} a_{1}=1; a_{2}=2\\ a_{n+2}=4a_{n+1}+a_{n}; n\geq 1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $a_{n}a_{n+2}+(-1)^{n}.5$ là số chính phương với mọi nguyên dương n
Bổ đề: Cho dãy số $u_n$ được xác định bởi $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$.
Khi đó ta có $u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=(-b)^{n-1}(u_1u_3-u_2^2)$
Sử dụng tính chất này ta có:
Tính được $a_3=9$, ta được $a_{n+2}a_n=a_{n+1}^2+(-1)^{n-1}.(a_1.a_3-a_2^2)= a_{n+1}^2+(-1)^{n-1}.5 =a_{n+1}^2 - (-1)^n.5$
Suy ra $a_n.a_{n+2}+(-1)^n.5= a_{n+1}^2$ là số chính phương.
- ThuThao36 yêu thích
#3
Đã gửi 25-12-2017 - 05:58
Dhantae123456
-
- Thành viên mới
-
- 34 Bài viết
Binh nhất
Bổ đề: Cho dãy số $u_n$ được xác định bởi $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$.
Khi đó ta có $u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=(-b)^{n-1}(u_1u_3-u_2^2)$
Sử dụng tính chất này ta có:
Tính được $a_3=9$, ta được $a_{n+2}a_n=a_{n+1}^2+(-1)^{n-1}.(a_1.a_3-a_2^2)= a_{n+1}^2+(-1)^{n-1}.5 =a_{n+1}^2 - (-1)^n.5$
Suy ra $a_n.a_{n+2}+(-1)^n.5= a_{n+1}^2$ là số chính phương.
cách làm hay và độc đáo
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
