Chủ đề này có 3 trả lời

[Chika Mayona]

Bài này thầy mình giải đến 4 trường hợp mới ra được đáp án Nhưng như thế lâu quá, có bạn nào có cách giải khác ko ạ?

[chanhquocnghiem]

Bài này thầy mình giải đến 4 trường hợp mới ra được đáp án Nhưng như thế lâu quá, có bạn nào có cách giải khác ko ạ?

2017-12-24_133818.png

Đặt $|x|+|y|=|x|+\left | \frac{x+1}{x-1} \right |=S(x)$. Ta có nhận xét :

+ Khi $x=-1$ hoặc $x=0$ thì $y$ lần lượt bằng $0$ hoặc $-1$. Vậy khi $x=-1$ hoặc $x=0$ thì $S(x)=1$

+ Khi $x\in (-\infty;-1)$ hoặc $x\in (1;+\infty)$ thì $S(x)> 1$ (vì khi đó $|x|> 1$)

+ Khi $x\in (0;1)$ thì $y< -1$ (vì $y$ nghịch biến trên $(0;1)$ và $y(0)=-1$) $\Rightarrow |y|> 1\Rightarrow S(x)> 1$

Vậy để tìm $x$ sao cho $S(x)$ nhỏ nhất, ta chỉ cần xét trường hợp $x\in[-1;0]$. Khi đó :

$S(x)=|x|+\left | \frac{x+1}{x-1} \right |=-x+\frac{1+x}{1-x}\Rightarrow S'(x)=-1+\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1-x)^2}-1$

$S'(x)=0\Leftrightarrow (1-x)^2=2\Leftrightarrow x=1-\sqrt{2}$ (vì $x\in [-1;0]$)

$S(1-\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1)+\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-2< 1=S(-1)=S(0)$

Do đó GTNN của $S(x)$ là $2\sqrt{2}-2$ khi $x=1-\sqrt{2}$

Chú ý rằng khi $x\in (-1;0)$ thì $y< 0$ (vì $y$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và $y(-1)=0$), tức là $x$ và $y$ cùng âm

$\Rightarrow x_M+y_M=-|x_M|-|y_M|=-S(x_M)=2-2\sqrt{2}$.

[Chika Mayona]

Đặt $|x|+|y|=|x|+\left | \frac{x+1}{x-1} \right |=S(x)$. Ta có nhận xét :

+ Khi $x=-1$ hoặc $x=0$ thì $y$ lần lượt bằng $0$ hoặc $-1$. Vậy khi $x=-1$ hoặc $x=0$ thì $S(x)=1$

+ Khi $x\in (-\infty;-1)$ hoặc $x\in (1;+\infty)$ thì $S(x)> 1$ (vì khi đó $|x|> 1$)

+ Khi $x\in (0;1)$ thì $y< -1$ (vì $y$ nghịch biến trên $(0;1)$ và $y(0)=-1$) $\Rightarrow |y|> 1\Rightarrow S(x)> 1$

Vậy để tìm $x$ sao cho $S(x)$ nhỏ nhất, ta chỉ cần xét trường hợp $x\in[-1;0]$. Khi đó :

$S(x)=|x|+\left | \frac{x+1}{x-1} \right |=-x+\frac{1+x}{1-x}\Rightarrow S'(x)=-1+\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1-x)^2}-1$

$S'(x)=0\Leftrightarrow (1-x)^2=2\Leftrightarrow x=1-\sqrt{2}$ (vì $x\in [-1;0]$)

$S(1-\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1)+\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-2< 1=S(-1)=S(0)$

Do đó GTNN của $S(x)$ là $2\sqrt{2}-2$ khi $x=1-\sqrt{2}$

Chú ý rằng khi $x\in (-1;0)$ thì $y< 0$ (vì $y$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và $y(-1)=0$), tức là $x$ và $y$ cùng âm

$\Rightarrow x_M+y_M=-|x_M|-|y_M|=-S(x_M)=2-2\sqrt{2}$.

Em cảm ơn ạ.

Nhưng bọn em thi theo hình thức trắc nghiệm rồi ._. Cách giải của anh hay nhưng vô phòng thi em sợ em căng thẳng quá ko nghĩ xét nhiều mảng như thế này ^^

Cái bài này, em nghĩ là sử dụng cosi có thể nhanh hơn chút ^^ ... nhưng làm 1 hồi em ko biết phải làm gì nữa luôn Anh chỉ em hướng đi tiếp với ạ ^^

 

TCĐ: $x=1$

TCN: $y=1$

$\rightarrow M\left ( x_M; \frac{x_M+1}{x_M-1} \right )\rightarrow M\left ( x_M; 1+\frac{2}{x_M+1} \right )$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} d(M; TCD)=|x_M-1|\\ d(M; TCN)=|\frac{2}{x_M-1}| \end{matrix}\right.$

$\overset{Cosi}{\rightarrow}|x_M-1|+\left | \frac{2}{x_M-1} \right | \geq 2\sqrt{|x_M-1|.\left | \frac{2}{x_M-1} \right |}$ $\doteq 2\sqrt{2}$

 

P/s: Đến đây em bí rồi ạ Mà cx ko biết em sai ở đâu nữa. Mong anh giúp cho ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chika Mayona: 24-12-2017 - 22:21

[chanhquocnghiem]

Em cảm ơn ạ.

Nhưng bọn em thi theo hình thức trắc nghiệm rồi ._. Cách giải của anh hay nhưng vô phòng thi em sợ em căng thẳng quá ko nghĩ xét nhiều mảng như thế này ^^

Cái bài này, em nghĩ là sử dụng cosi có thể nhanh hơn chút ^^ ... nhưng làm 1 hồi em ko biết phải làm gì nữa luôn Anh chỉ em hướng đi tiếp với ạ ^^

 

TCĐ: $x=1$

TCN: $y=1$

$\rightarrow M\left ( x_M; \frac{x_M+1}{x_M-1} \right )\rightarrow M\left ( x_M; 1+\frac{2}{x_M+1} \right )$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} d(M; TCD)=|x_M-1|\\ d(M; TCN)=|\frac{2}{x_M-1}| \end{matrix}\right.$

$\overset{Cosi}{\rightarrow}|x_M-1|+\left | \frac{2}{x_M-1} \right | \geq 2\sqrt{|x_M-1|.\left | \frac{2}{x_M-1} \right |}$ $\doteq 2\sqrt{2}$

 

P/s: Đến đây em bí rồi ạ Mà cx ko biết em sai ở đâu nữa. Mong anh giúp cho ^^

Đề bài nói là "tổng các khoảng cách từ $M$ đến HAI TRỤC TỌA ĐỘ là nhỏ nhất" chứ không phải "... đến HAI ĐƯỜNG TIỆM CẬN..." nên không làm cách đó được nhé em.