Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 24-12-2017 - 21:31
#1
Đã gửi 24-12-2017 - 21:31
- Zz Isaac Newton Zz và Minhnksc thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 25-12-2017 - 22:13
Gọi $P(m, n)$ là cách thay giá trị lần lượt của $m,n$ vào ii).
$P(1,1):f(2)=2f(1)+2$ (1)
$P(1,2):f(3)=f(2)+f(1)+4=3f(1)+6$ (2)
$P(1,3):f(4)=f(3)+f(1)+6=4f(1)+12$ (3)
Sử dụng quy nạp ta chứng minh được $f(n)=nf(1)+(n-1)*n.$
Từ (1) $\Rightarrow f(1)$ lẻ (nếu $f(1)$ chẵn thì $f(2)$ chia $4$ dư $2$ mâu thuẫn với $f(2)$ là số chính phương)
Đặt $f(1)=(2a+1)^2,$ từ (3) $\Rightarrow 16a^2+16a+16=k^2.$
Lại có $(4a+2)^2<16a^2+16a+16<(4a+3)^2(a>0) \Rightarrow a = 0.$
Do đó $f(1)=1 \Rightarrow f(n)=n^2.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-12-2017 - 07:41
- namcpnh yêu thích
#3
Đã gửi 26-12-2017 - 19:22
Cách của mình (cũng tương tự):
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 26-12-2017 - 19:23
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#4
Đã gửi 17-03-2023 - 00:32
Đặt $h(n)=f(n)-n^2$
Ta có $h(m+n)=h(m)+h(n)$
Suy ra $h(m)=k.m$ (pth cosy)
Khi đó $h(n)=n.h(1)$,hay $f(n)-n^2=n.(f(1)-1) (*)$
Nên: $f(n)=n^2-n+n.f(1)$ là SCP
thay $n$ bằng $p$ là SNT
suy ra $f(p)=p^2-p+p.f(1)$ chia hết cho $p$ nên chia hết cho $p^2$(do là SCP)
nên $f(1)-1$ chia hết cho $p$.do đó $f(1)-1=0$.Nên $f(1)=1$
Thay trờ lại suy ra $f(n)=n^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 17-03-2023 - 16:17
LaTeX
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh