(Trích đề thi IZHO 2017)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $(x+y^{2})f(yf(x))=xyf(y^{2}+f(x)),\forall x, y\in \mathbb{R}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 25-12-2017 - 20:31
Tìm tất cả các hàm thỏa $(x+y^{2})f(yf(x))=xyf(y^{2}+f(x)),\forall x, y\in \mathbb{R}.$
Bắt đầu bởi Zz Isaac Newton Zz, 25-12-2017 - 20:30
#2
Đã gửi 26-12-2017 - 15:47
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1423 Bài viết
Thượng úy
Trường hợp $f(x)$ là hàm hằng thì $f(x)\equiv 0$.
Giả sử tồn tại $x\in \mathbb{R}$ thỏa $f(x)\neq 0$.
Gọi $P(x;y)$ là phép thế bộ $(x;y)$.
$P(x;0)$ ta được $f(0)=0$.
$P(x;1)$ ta được $(x+1)f(f(x))=x(f(f(x)+1)$ suy ra $f$ đơn ánh.
$P(-y^2,y): -y^3f(y^2+f(-y^2))=0=f(0)$.
Suy ra $f(x)=x,\forall x\leq 0$.
Ta dùng $P(x_0,-y);P(x_0,y)$ với $f(x_0)\neq 0$, ta được $f(x)=-f(-x)$.
nên ta được $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 26-12-2017 - 15:53
- Zz Isaac Newton Zz yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
