Chủ đề này có 2 trả lời

[Quoc0712]

Tìm ma trận $A$ thuộc $M_{n}$ thỏa $A^{3} + 2A^{2} - A - 2I = 0$ và $tr(A)=n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 30-12-2017 - 11:12

[anhquannbk]

Tìm ma trận A thuộc M_n thỏa A³ + 2A² - A - 2I = 0 và tr(A)=n.

Xét phương trình $t^3+2t^2-t-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt là $t_1=1, t_2=-1, t_3=-2$, suy ra các giá trị riêng của $A$ thuộc$1,-1,-2$

Gọi $f_A(x)$ là đa thức đặc trưng của ma trận $A$. Khi đó $f_A(x)$ có thể có ba nghiệm phân biệt $1,-1,-2$ với bội số tương ứng là $q, r, s$ với $q, r, s \ge 0$

Ta có $q+r+s=n    (1)$

Mặt khác $trace(A)=n$ nên $ q-r-2s=n    (2)$

Từ $(1), (2)$ ta có $q=n, r=s=0$ nên tất cả các giá trị riêng của $A$ bằng $1$

nên $A$ không chéo hóa được 

$A= diag(1,1,....,1)$?

[vutuanhien]

Xét phương trình $t^3+2t^2-t-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt là $t_1=1, t_2=-1, t_3=-2$, suy ra các giá trị riêng của $A$ thuộc$1,-1,-2$

Gọi $f_A(x)$ là đa thức đặc trưng của ma trận $A$. Khi đó $f_A(x)$ có thể có ba nghiệm phân biệt $1,-1,-2$ với bội số tương ứng là $q, r, s$ với $q, r, s \ge 0$

Ta có $q+r+s=n    (1)$

Mặt khác $trace(A)=n$ nên $ q-r-2s=n    (2)$

Từ $(1), (2)$ ta có $q=n, r=s=0$ nên tất cả các giá trị riêng của $A$ bằng $1$

nên $A$ không chéo hóa được 

$A= diag(1,1,....,1)$?

$A$ chắc chắn là chéo hóa được, lý do là vì đa thức tối tiểu của $A$ là ước của $X^3+2X^2-X-2$, mà đa thức này tách được nên đa thức tối tiểu của $A$ tách được, dẫn đến $A$ chéo hóa được. 

 

Cuối cùng sau khi đã chéo hóa được thì ta quy về giải hệ phương trình như bên trên.