Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$

pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 28-12-2017 - 18:54

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Tìm số $k$ nhỏ nhất.
 

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 28-12-2017 - 22:09

 

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Tìm số $k$ nhỏ nhất.

 

Ta xét bài toán tổng quát :

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)
Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.
 
Dễ thấy nếu $a=1$ thì $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)
Theo đề bài, $g(3)=g(1)=1$ và $g(n-1)=g(n)\pm 1\Rightarrow g(2)\leqslant 2$. Vậy $k_2=2$
$\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(2)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(3)=1\\g(6)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_3=5$
$\left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(12)\leqslant 2\\g(15)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_4=14$
$\left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(39)\leqslant 3\\g(42)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(40)\leqslant 4\\g(41)\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_5=41$
..........................................................
..........................................................
Nhận xét :
$k_1=1$
$k_2=3k_1-1=3^1-1$
$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$
$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...
$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$
 
Cho $a=2001$, ta có đáp án bài toán đã cho là $k_{2001}=\frac{3^{2000}+1}{2}$.

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 30-12-2017 - 21:17

 

Ta xét bài toán tổng quát :

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)
Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.
 
Dễ thấy nếu $a=1$ thì $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)
Theo đề bài, $g(3)=g(1)=1$ và $g(n-1)=g(n)\pm 1\Rightarrow g(2)\leqslant 2$. Vậy $k_2=2$
$\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(2)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(3)=1\\g(6)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_3=5$
$\left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(12)\leqslant 2\\g(15)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_4=14$
$\left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(39)\leqslant 3\\g(42)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(40)\leqslant 4\\g(41)\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_5=41$
..........................................................
..........................................................
Nhận xét :
$k_1=1$
$k_2=3k_1-1=3^1-1$
$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$
$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...
$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$
 
Cho $a=2001$, ta có đáp án bài toán đã cho là $k_{2001}=\frac{3^{2000}+1}{2}$.

 

Mình nghĩ bạn nên chứng minh rõ mệnh đề đúng với mọi a


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 31-12-2017 - 15:41

Ta xét mệnh đề tổng quát hơn: Xét dãy số $(x_n)$ thỏa $x_n=\frac{3^n+1}{2}\forall n$, khi đó $x_n$ là giá trị nhỏ nhất có thể để $g(x)=n$ (1) 
Với $n=1$, (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với $n=m-1$. Ta chứng minh (1) đúng vơi $n=m$
Giả sử tồn tại số $t$ nhỏ hơn $x_m$ và là số nhỏ nhất sao cho $g(t)$ có thể đạt giá trị $m$
Xét hàm số $g$ để $g(t)=m$, khi đó do $t$ nhỏ nhất nên $t$ không chia hết cho $3$. Xét 2 TH:
TH1: $t$ chia 3 dư 1, khi đó $g(t-1)=m-1$ nên $g(\frac{t-1}{3})=m-1$, như vậy $\frac{t-1}{3}\geq x_{m-1}$ hay $t\geq \frac{3^m+5}{2}>x_m$
TH2: $t$ chia 3 dư 2:
Khi đó $g(t+1)=m-1$ hay $m+1$.
Nếu $g(t+1)=m-1$ thì lập luận tương tự.
Nếu $g(t+1)=m+1$
$\Rightarrow g(\frac{t+1}{3})=m+1\Rightarrow$ tồn tại số $q<t$ để $g(q)=m$, vô lý.
Vậy ta có (1) đúng, cho $n=2001$ thì $k=x_{2001}=\frac{3^{2001}+1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 31-12-2017 - 15:45

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 31-12-2017 - 17:08

 

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Tìm số $k$ nhỏ nhất.

 

Ta xét bài toán tổng quát :

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)
Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.
 
Với $a=1$, ta có $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)
Trước hết, ta cần chứng minh $k_{a+1}=3k_a-1$ (1)
+ Với $a=1$ : Ta có $\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(3)=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}g(2)=0\\g(2)=2 \end{array}\right.\Rightarrow k_2=2=3k_1-1$. Vậy mệnh đề (1) đúng khi $a=1$
+ Với $a> 1$ : Khi đó $k_a> 1$ và $g(k_a)=a$. Suy ra $g(m)< a,\forall m< k_a$ ($m\in\mathbb{N}^*$) (2)
   tức là các giá trị $g(1);g(2);g(3);...;g(k_a-1)$ đều nhỏ hơn $a$
   $\Rightarrow$ các giá trị $g(3);g(6);g(9);...;g(3k_a-3)$ cũng đều nhỏ hơn $a$ (3)
   Bây giờ ta xét các giá trị $g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3)$ với $t$ là số nguyên bất kỳ thỏa mãn $1\leqslant t\leqslant k_a-2$
   Ta có $\left\{\begin{matrix}g(3t)=g(t)\\g(3t+3)=g(t+1) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left | g(3t+3)-g(3t) \right |=1$
   Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p\\g(3t+3)=p+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p-1\\g(3t+1)=p+1 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+2\\g(3t+2)=p \end{array}\right. \end{matrix}\right.$
   Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p+1\\g(3t+3)=p \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p\\g(3t+1)=p+2 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+1\\g(3t+2)=p-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$
   Trong cả 2 trường hợp, ta đều có : $\max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )=\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )+1$
   Mà từ (3), ta có $\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )< a$
   $\Rightarrow \max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )\leqslant a,\forall t$ nguyên từ $1$ đến $k_a-2$
   nghĩa là các giá trị $g(3);g(4);g(5);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1  (4)
   Lại có $g(1)=1$ ; $g(2)\leqslant 2\Rightarrow g(1)$ và $g(2)$ cũng nhỏ hơn a+1 (5)  (vì đang xét $a\geqslant 2$)
   (4), (5) $\Rightarrow g(1);g(2);g(3);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1  (6)
   Giờ ta xét đến $g(3k_a-3);g(3k_a-2);g(3k_a-1)$ và $g(3k_a)$
   Ta có $g(3k_a-3)=g(k_a-1)$ ; $g(3k_a)=g(k_a)=a$
   Mà $\left | g(k_a-1)-g(k_a) \right |=1$ và $k_a-1< k_a$ nên theo (2) ta có $g(k_a-1)=g(k_a)-1=a-1$
   Do đó $\left\{\begin{matrix}g(3k_a-3)=g(k_a-1)=a-1\\g(3k_a)=g(k_a)=a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3k_a-2)=a-2\\g(3k_a-2)=a \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3k_a-1)=a+1\\g(3k_a-1)=a-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$ (7)
   Từ (6) và (7) $\Rightarrow k_{a+1}=3k_a-1$ (vì $3k_a-1$ là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(3k_a-1)=a+1$)
   Vậy ta có $k_{a+1}=3k_a-1$ đúng với mọi $a\in\mathbb{N}^*$
  
$k_1=1$
$k_2=3k_1-1=3^1-1$
$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$
$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...
$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3^1+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$
 
Cho $a=2001$, ta được đáp án bài toán là $\frac{3^{2000}+1}{2}$.

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 02-01-2018 - 20:12

minh

 

 

Ta xét bài toán tổng quát :

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)
Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.
 
Với $a=1$, ta có $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)
Trước hết, ta cần chứng minh $k_{a+1}=3k_a-1$ (1)
+ Với $a=1$ : Ta có $\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(3)=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}g(2)=0\\g(2)=2 \end{array}\right.\Rightarrow k_2=2=3k_1-1$. Vậy mệnh đề (1) đúng khi $a=1$
+ Với $a> 1$ : Khi đó $k_a> 1$ và $g(k_a)=a$. Suy ra $g(m)< a,\forall m< k_a$ ($m\in\mathbb{N}^*$) (2)
   tức là các giá trị $g(1);g(2);g(3);...;g(k_a-1)$ đều nhỏ hơn $a$
   $\Rightarrow$ các giá trị $g(3);g(6);g(9);...;g(3k_a-3)$ cũng đều nhỏ hơn $a$ (3)
   Bây giờ ta xét các giá trị $g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3)$ với $t$ là số nguyên bất kỳ thỏa mãn $1\leqslant t\leqslant k_a-2$
   Ta có $\left\{\begin{matrix}g(3t)=g(t)\\g(3t+3)=g(t+1) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left | g(3t+3)-g(3t) \right |=1$
   Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p\\g(3t+3)=p+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p-1\\g(3t+1)=p+1 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+2\\g(3t+2)=p \end{array}\right. \end{matrix}\right.$
   Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p+1\\g(3t+3)=p \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p\\g(3t+1)=p+2 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+1\\g(3t+2)=p-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$
   Trong cả 2 trường hợp, ta đều có : $\max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )=\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )+1$
   Mà từ (3), ta có $\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )< a$
   $\Rightarrow \max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )\leqslant a,\forall t$ nguyên từ $1$ đến $k_a-2$
   nghĩa là các giá trị $g(3);g(4);g(5);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1  (4)
   Lại có $g(1)=1$ ; $g(2)\leqslant 2\Rightarrow g(1)$ và $g(2)$ cũng nhỏ hơn a+1 (5)  (vì đang xét $a\geqslant 2$)
   (4), (5) $\Rightarrow g(1);g(2);g(3);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1  (6)
   Giờ ta xét đến $g(3k_a-3);g(3k_a-2);g(3k_a-1)$ và $g(3k_a)$
   Ta có $g(3k_a-3)=g(k_a-1)$ ; $g(3k_a)=g(k_a)=a$
   Mà $\left | g(k_a-1)-g(k_a) \right |=1$ và $k_a-1< k_a$ nên theo (2) ta có $g(k_a-1)=g(k_a)-1=a-1$
   Do đó $\left\{\begin{matrix}g(3k_a-3)=g(k_a-1)=a-1\\g(3k_a)=g(k_a)=a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3k_a-2)=a-2\\g(3k_a-2)=a \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3k_a-1)=a+1\\g(3k_a-1)=a-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$ (7)
   Từ (6) và (7) $\Rightarrow k_{a+1}=3k_a-1$ (vì $3k_a-1$ là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(3k_a-1)=a+1$)
   Vậy ta có $k_{a+1}=3k_a-1$ đúng với mọi $a\in\mathbb{N}^*$
  
$k_1=1$
$k_2=3k_1-1=3^1-1$
$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$
$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...
$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3^1+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$
 
Cho $a=2001$, ta được đáp án bài toán là $\frac{3^{2000}+1}{2}$.

 

Mình không hiểu lắm chỗ xét g(3t)=p lắm


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-01-2018 - 23:02

minh

 

Mình không hiểu lắm chỗ xét g(3t)=p lắm

Do $\left | g(3t+3)-g(3t) \right |=1$ nên có 2 khả năng xảy ra :

$\left\{\begin{matrix}g(3t)=p\\g(3t+3)=p+1 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p+1\\g(3t+3)=p \end{matrix}\right.$ (với $p$ là một số nguyên nào đó)

Trường hợp thứ nhất, vì $g(3t)=p$ nên theo dữ kiện đề bài $\left | g(n+1)-g(n) \right |=1$ ta suy ra $g(3t+1)=$ p-1 hoặc p+1

                            và vì $g(3t+3)=p+1$ nên cũng từ dữ kiện đó suy ra $g(3t+2)=$ p+2 hoặc p

Tóm lại nếu $g(3t+1)=p-1$ thì $g(3t+2)=p$ ; còn nếu $g(3t+1)=p+1$ thì $(3t+2)=p+2$

Như vậy, nếu giá trị lớn nhất trong 2 giá trị $g(3t);g(3t+3)$ là p+1 thì giá trị lớn nhất trong 4 giá trị $g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3)$ không vượt quá p+2 (Trường hợp thứ hai cũng tương tự như thế)

Mà tất cả các giá trị $g(3);g(6);g(9);...;g(3k_a-3)$ (tương ứng với $t$ từ 1 đến $k_a-1$) đều nhỏ hơn $a$ (đã nói ở đoạn trên) nên suy ra mọi giá trị $g(n)$ với $n$ từ $3$ đến $3k_a-3$ đều nhỏ hơn a+1

Sau đó chỉ cần chứng minh (một cách dễ dàng) $g(1)$ và $g(2)$ cũng nhỏ hơn a+1 là có thể kết luận $g(n)< a+1$ với mọi $n$ từ 1 đến $3k_a-3$

Cuối cùng xem xét các số kế tiếp $g(3k_a-2);g(3k_a-1);g(3k_a)$ xem số nào có khả năng đạt giá trị a+1. Đó chỉ có thể là $g(3k_a-1)$. Vậy ta chứng minh được $k_{a+1}=3k_a-1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-01-2018 - 23:08

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8 vinhhop

vinhhop

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 19-02-2019 - 10:17

Ta xét bài toán tổng quát :

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)
Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.
 
Dễ thấy nếu $a=1$ thì $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)
Theo đề bài, $g(3)=g(1)=1$ và $g(n-1)=g(n)\pm 1\Rightarrow g(2)\leqslant 2$. Vậy $k_2=2$
$\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(2)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(3)=1\\g(6)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_3=5$
$\left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(12)\leqslant 2\\g(15)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_4=14$
$\left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(39)\leqslant 3\\g(42)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(40)\leqslant 4\\g(41)\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_5=41$
..........................................................
..........................................................
Nhận xét :
$k_1=1$
$k_2=3k_1-1=3^1-1$
$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$
$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...
$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$
 
Cho $a=2001$, ta có đáp án bài toán đã cho là $k_{2001}=\frac{3^{2000}+1}{2}$.

Tại sao $k_3=5$ mà ko phải $k_3=1?$

#9 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 20-02-2019 - 07:17

Tại sao $k_3=5$ mà ko phải $k_3=1?$

Bạn lưu ý số $k_a$ là số nguyên dương $x$ nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$, tức là $g(x)=a$.

Mà theo đề bài :

$g(1)$ bằng $1$.

$g(2)$ bằng $0$ hoặc $2$ (do đó mới viết $g(2)\leqslant 2$)

$g(3)$ bằng $1$ (vì $g(1)=1$ và $g(3n)=g(n),\forall n\geqslant 1$)

$g(4)$ bằng $0$ hoặc $2$ (do đó mới viết $g(4)\leqslant 2$)

$g(5)$ bằng $-1;1$ hoặc $3$ (do đó mới viết $g(5)\leqslant 3$)

Vậy : $5$ là số nguyên dương nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(5)=3$

Do đó : $k_3=5$

(Chứ $g(1)=1$ thì sao có thể nói $k_3=1$ được ?)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh