Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $a+b+c\leq 3$ với $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$ và $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$. 

Chứng minh rằng:

$a+b+c\leq 3$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$ và $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$. 

Chứng minh rằng:

$a+b+c\leq 3$.

Áp dụng BĐT Schur bậc 3: $a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ca)$, hay $2(a^2+b^2+c^2)+\frac{9abc}{a+b+c} \geq (a+b+c)^2$.

Phản chứng: Giả sử $a+b+c>3$.

Ta có $9<(a+b+c)^2 \leq 2(a^2+b^2+c^2)+\frac{9abc}{a+b+c}<2(a^2+b^2+c^2)+\frac{9abc}{3}=2(a^2+b^2+c^2)+3abc$, vô lý do điều kiện.

Vậy $a+b+c \leq 3$.



#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Ta có thể dùng phản chứng.

Giả sử $a+b+c< 3$.

Khi đó: $9=2(a^2+b^2+c^2).1^2+3abc.1^3> 2(a^2+b^2+c^2)(\frac{3}{a+b+c})^2+3abc.(\frac{3}{a+b+c})^3=\frac{18(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{81abc}{(a+b+c)^3}.$

BĐT này tương đương với : $(a+b+c)^3> 2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc.$.

Sau khi thu gọn, ta được: $a^3+b^3+c^3+3abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$.

Theo $Schur$ điều này vô lí.

Nên ta có đpcm.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#4
minhbeo12

minhbeo12

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Theo nguyên lý Đi-rich-le, trong 3 số a - 1, b - 1, c - 1 có 2 số cùng dấu. Giả sử hai số đó là a - 1, b - 1

Ta có (a - 1)(b - 1) > 0 <=> ab + 1 > a + b 

                                    <=> ab > a + b - 1

Ta có: 9 = 2(a2 + b2 + c2) + 3abc > 2(a2 + b2 + c2​) + 3(a + b - 1)c

                                                     > (a + b)2 + 2c2​ + 3ac + 3bc - 3c             (2a2 + 2b2> (a + b)2)

Do đó  36 > 4(a + b)2 + 8c2 + 12ac + 12bc - 12c =  4(a + b)2 + 12c(a + b) + 9c2 - c2 - 12c 

     <=>(c + 6)2> (2a + 2b + 3c)2

     <=> c + 6 > 2a + 2b + 3c

     <=> 3 > a + b + c






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh