Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

chứng minh $GA(\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/\tau (\varepsilon)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 ThienChi375

ThienChi375

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 30-12-2017 - 19:53

Cho $(\varepsilon ,\phi ,E)$ là một không gian affine

$GA(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi affine}
$GL(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi tuyến tính}
$ \tau(\varepsilon ) =$ { $ t_{\vec{u}}: \varepsilon \rightarrow \varepsilon | \vec{u}\in E $ } $\subset GA(\varepsilon )$

Chứng minh: $$GA(\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/\tau (\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/(E, +)$$

 

Các bạn trình bày chi tiết và giải thích giúp mình bài ni nhé!

Cám ơn các bạn nhiều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienChi375: 30-12-2017 - 23:09


#2 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 30-12-2017 - 23:58

Cho $(\varepsilon ,\phi ,E)$ là một không gian affine

$GA(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi affine}
$GL(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi tuyến tính}
$ \tau(\varepsilon ) =$ { $ t_{\vec{u}}: \varepsilon \rightarrow \varepsilon | \vec{u}\in E $ } $\subset GA(\varepsilon )$

Chứng minh: $$GA(\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/\tau (\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/(E, +)$$

 

Các bạn trình bày chi tiết và giải thích giúp mình bài ni nhé!

Cám ơn các bạn nhiều.

:wacko:  Tại sao tập $GL(\varepsilon)$ gồm các $f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ lại có thể là phép biến đổi tuyến tính vậy? Ý bạn là $f:E\to E$, hay ý bạn là ta trang bị cấu trúc không gian vector cho không gian affine $\varepsilon$ bằng cách cố định 1 điểm?


"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)

#3 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 31-12-2017 - 01:31

Cho $(\varepsilon ,\phi ,E)$ là một không gian affine

$GA(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi affine}
$GL(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi tuyến tính}
$ \tau(\varepsilon ) =$ { $ t_{\vec{u}}: \varepsilon \rightarrow \varepsilon | \vec{u}\in E $ } $\subset GA(\varepsilon )$

Chứng minh: $$GA(\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/\tau (\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/(E, +)$$

 

Các bạn trình bày chi tiết và giải thích giúp mình bài ni nhé!

Cám ơn các bạn nhiều.

Ok mình nghĩ đề phải sửa lại như thế này:

$GA(\varepsilon)$ là tập hợp tất cả các đẳng cấu affine $f:\varepsilon\to \varepsilon$.

$GL(E)$ là tập hợp tất cả các đẳng cấu tuyến tính $\vec{f}:E\to E$.

$\tau(\varepsilon)$ là tập hợp tất cả các phép tịnh tiến $t_{\vec{u}}:\varepsilon\to \varepsilon$.

 

Khi đó chứng minh rằng có một đẳng cấu nhóm $$GL(E)\cong GA(\varepsilon)/\tau(\varepsilon)$$ 

 

Cách làm rất đơn giản: Trước tiên ta nhìn thấy có một nhóm thương, vì vậy ta sẽ cố gắng dùng đến tính phổ dụng của nó (hay chính là định lý cơ bản về đẳng cấu nhóm). Cụ thể hơn, ta sẽ thiết lập một đồng cấu nhóm $\varphi:GA(\varepsilon)\to GL(E)$ sao cho $\operatorname{Im}(\varphi)=GL(E)$ còn $\operatorname{Ker}(\varphi)=\tau(\varepsilon)$. 

 

Xét ánh xạ $\varphi: GA(\varepsilon)\to GL(E)$, biến mỗi đẳng cấu affine $f$ thành ánh xạ tuyến tính liên kết $\vec{f}$ của nó. Ta đã biết rằng $\vec{f}$ luôn được xác định duy nhất, hơn nữa nó là một đẳng cấu tuyến tính vì $f$ là đẳng cấu affine. Vì vậy $\varphi$ được xác định tốt.

 

Ta có $\varphi$ đương nhiên là một đồng cấu nhóm, vì ánh xạ tuyến tính liên kết của $f\circ g$ là $\vec{f}\circ \vec{g}$. Ta cần chứng minh thêm rằng $\varphi$ là một toàn cấu, điều này thực ra là một hệ quả của một mệnh đề tổng quát hơn như sau:

 

Mệnh đề: Với mỗi ánh xạ tuyến tính $f:V\to V'$ và với mọi $O\in \mathbb{A}$, $O'\in \mathbb{A'}$, tồn tại duy nhất một ánh xạ affine $F:\mathbb{A}\to \mathbb{A'}$ sao cho $F(O)=O'$.

 

Như vậy tóm lại $\varphi$ là một toàn cấu và $\operatorname{Im}(\varphi)=GL(E)$. Cuối cùng ta tính $\operatorname{Ker}(\varphi)$. Hạt nhân của $\varphi$ là các ánh xạ affine mà ánh xạ tuyến tính liên kết là ánh xạ đồng nhất, và ta đã biết đó chỉ có thể là các phép tịnh tiến. Tóm lại $\operatorname{Ker}(\varphi)=\tau(\epsilon)$ và theo định lý cơ bản về đẳng cấu nhóm:

$$GL(E)=\operatorname{Im}(\varphi)\cong GA(\varepsilon)/\operatorname{Ker}(\varphi)=GA(\varepsilon)/\tau(\varepsilon)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 31-12-2017 - 01:32

"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh