Cho $(\varepsilon ,\phi ,E)$ là một không gian affine
$GA(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi affine}
$GL(\varepsilon ) =$ {$f:\varepsilon \rightarrow \varepsilon$ là biến đổi tuyến tính}
$ \tau(\varepsilon ) =$ { $ t_{\vec{u}}: \varepsilon \rightarrow \varepsilon | \vec{u}\in E $ } $\subset GA(\varepsilon )$
Chứng minh: $$GA(\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/\tau (\varepsilon ) \widetilde{=} GL(\varepsilon )/(E, +)$$
Các bạn trình bày chi tiết và giải thích giúp mình bài ni nhé!
Cám ơn các bạn nhiều.
Ok mình nghĩ đề phải sửa lại như thế này:
$GA(\varepsilon)$ là tập hợp tất cả các đẳng cấu affine $f:\varepsilon\to \varepsilon$.
$GL(E)$ là tập hợp tất cả các đẳng cấu tuyến tính $\vec{f}:E\to E$.
$\tau(\varepsilon)$ là tập hợp tất cả các phép tịnh tiến $t_{\vec{u}}:\varepsilon\to \varepsilon$.
Khi đó chứng minh rằng có một đẳng cấu nhóm $$GL(E)\cong GA(\varepsilon)/\tau(\varepsilon)$$
Cách làm rất đơn giản: Trước tiên ta nhìn thấy có một nhóm thương, vì vậy ta sẽ cố gắng dùng đến tính phổ dụng của nó (hay chính là định lý cơ bản về đẳng cấu nhóm). Cụ thể hơn, ta sẽ thiết lập một đồng cấu nhóm $\varphi:GA(\varepsilon)\to GL(E)$ sao cho $\operatorname{Im}(\varphi)=GL(E)$ còn $\operatorname{Ker}(\varphi)=\tau(\varepsilon)$.
Xét ánh xạ $\varphi: GA(\varepsilon)\to GL(E)$, biến mỗi đẳng cấu affine $f$ thành ánh xạ tuyến tính liên kết $\vec{f}$ của nó. Ta đã biết rằng $\vec{f}$ luôn được xác định duy nhất, hơn nữa nó là một đẳng cấu tuyến tính vì $f$ là đẳng cấu affine. Vì vậy $\varphi$ được xác định tốt.
Ta có $\varphi$ đương nhiên là một đồng cấu nhóm, vì ánh xạ tuyến tính liên kết của $f\circ g$ là $\vec{f}\circ \vec{g}$. Ta cần chứng minh thêm rằng $\varphi$ là một toàn cấu, điều này thực ra là một hệ quả của một mệnh đề tổng quát hơn như sau:
Mệnh đề: Với mỗi ánh xạ tuyến tính $f:V\to V'$ và với mọi $O\in \mathbb{A}$, $O'\in \mathbb{A'}$, tồn tại duy nhất một ánh xạ affine $F:\mathbb{A}\to \mathbb{A'}$ sao cho $F(O)=O'$.
Như vậy tóm lại $\varphi$ là một toàn cấu và $\operatorname{Im}(\varphi)=GL(E)$. Cuối cùng ta tính $\operatorname{Ker}(\varphi)$. Hạt nhân của $\varphi$ là các ánh xạ affine mà ánh xạ tuyến tính liên kết là ánh xạ đồng nhất, và ta đã biết đó chỉ có thể là các phép tịnh tiến. Tóm lại $\operatorname{Ker}(\varphi)=\tau(\epsilon)$ và theo định lý cơ bản về đẳng cấu nhóm:
$$GL(E)=\operatorname{Im}(\varphi)\cong GA(\varepsilon)/\operatorname{Ker}(\varphi)=GA(\varepsilon)/\tau(\varepsilon)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 31-12-2017 - 01:32