Đến nội dung

Hình ảnh

Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại cách tô $k$ màu vào tập số nguyên dương và tồn tại một hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn 2 điều kiện sau:

(i) Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$
(ii) Tồn tại vài số $m$, $n$ sao cho $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$
Lưu ý: mỗi số nguyên dương được tô đúng 1 trong $k$ màu, hai số $m$, $n$ ở 2 điều kiện không nhất thiết phải trùng nhau.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Dễ thấy nếu $k=3$ thì ta xét hàm số :
$f(n)=\frac{n}{3}, khi\;n\equiv 0$(mod3) và
$f(n)=r, khi\; n\equiv r(mod3)$
Ta chứng minh $k$ không thể bằng 2. Giả sử $k=2$:
Đặt $f(1)=c$, khi đó ta chứng minh mệnh đề sau: $f(n)=nc\,\forall 1\leq n\leq m\,(1)$
Với $m=2$ thì (1) đúng, giả sử (1) đúng với $m=k$, ta chứng minh $f(k+1)=(k+1)c$, thật vậy:
Nếu $k$ lẻ, khi đó $f(k+1)=2f(\frac{k+1}{2})=2.\frac{k+1}{2}c=(k+1)c$
Nếu $k$ chẵn, giả sử $f(k+1)\neq (k+1)c=f(x)+f(y)\, \forall x,y$ sao cho $x+y=k+1$, khi đó $k+1$ sẽ là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên và $x,y$ được tô khác màu.
Do $k$ chẵn nên Cmtt, ta được $f(k+2)=(k+2)c$, khi đó 1 và $k+1$ không được tô cùng màu. Giả sử 1 tô màu xanh còn $k+1$ tô màu đỏ, khi đó ta cũng có $k$ màu đỏ. Ta có $f(2k)=2f(k)=2kc$ và $f(2k+1)=f(k+1)+f(k)\neq (2k+1)c=f(2k)+f(1)$ nên $2k$ cũng có màu đỏ.
Lại có $f(2k+2)=2f(2k+1)\neq f(2k)+f(2)$ nên $2k$ và $2$ được tô khác màu hay 2 tô màu đỏ$\Rightarrow$ $k-1$ tô màu xanh.
Khi đó ta có:$f(2k+1)=f(k-1)+f(k+2)=(k-1)c+(k+2)c=(2k+1)c$, vô lý.
Vậy ta có $k_{min}$=3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 02-01-2018 - 21:19

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh