Chủ đề này có 1 trả lời

[ThuThao36]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và SA=SB=SC=AD=2a, AB=BC=CD=a.
a) Trên SB lấy điểm M sao cho MA vuông góc với MD. Tính $\frac{SM}{MB}$
b) Mặt phẳng (P) qua BC và tạo với đáy một góc $30^{\circ}$ 

.               Tính theo a diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuThao36: 01-01-2018 - 07:41

[chanhquocnghiem]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và SA=SB=SC=AD=2a, AB=BC=CD=a.
a) Trên SB lấy điểm M sao cho MA vuông góc với MD. Tính $\frac{SM}{MB}$
b) Mặt phẳng (P) qua BC và tạo với đáy một góc $30^{\circ}$ 

.               Tính theo a diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Dễ thấy $ABCD$ là hình thang cân và bằng một nửa lục giác đều tâm $P$, cạnh $a$ $\Rightarrow \measuredangle BAD=60^o$

$SA=SB=SC\Rightarrow$ hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, tức là trùng với $P$ $\Rightarrow SP\perp (ABCD)$

$a)$ $MA\perp MD\Rightarrow MP=\frac{AD}{2}=a$

     Trong $\Delta SPB$ (vuông tại $P$), điểm $M$ (khác $B$) thuộc $SB$ sao cho $MP=\frac{AD}{2}$ chính là trung điểm của $SB$. Vậy $\frac{SM}{MB}=1$.

     Mặt khác, $PB=a$ ; $SB=2a$ $\Rightarrow SP=a\sqrt{3}$

 

$b)$ Gọi $R=(P)\cap SP\Rightarrow \measuredangle RQP=30^o\Rightarrow RP=PQ\tan30^o=AB\sin60^o\tan30^o=\frac{a}{2}$ ; $QR=a$

     $SR=SP-RP=\left ( \sqrt{3}-\frac{1}{2} \right )a$

     Gọi $I=(P)\cap SA$ ; $K=(P)\cap SD\Rightarrow IK//BC//AD$ (thiết diện là hình thang $BIKC$ với đường cao $QR$)

     $IK=AD.\frac{SR}{SP}=\frac{6-\sqrt{3}}{3}\ a$

     Diện tích thiết diện $S_{BIKC}=\frac{(BC+IK).QR}{2}=\frac{9-\sqrt{3}}{6}\ a^2$