Đến nội dung


Thông báo


Thời gian vừa qua chức năng nhập mã an toàn lúc đăng kí thành viên của diễn đàn đã hoạt động không ổn định, do đó có nhiều bạn đã không thể đăng kí thành viên. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết. Ban Quản Trị chân thành xin lỗi những thành viên đã gặp trục trặc lúc đăng kí.


Hình ảnh

USA December TST 2018


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{11T1 THPT Chuyên}$ $\boxed{\text{ LHP - Nam Định}}$
  • Sở thích:Convex Analysis :V

Đã gửi 01-01-2018 - 23:02

Bài 1: Cho $n\ge 2$ là một số nguyên dương và kí hiệu $\sigma (n)$ là tổng các ước của $n$. Chứng minh rằng số nguyên dương nhỏ thứ $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ luôn không nhỏ hơn $\sigma (n)$, đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2: Tìm hàm $f: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \left[0,1\right]$ sao cho với mọi số nguyên $x;y$:

$f(x,y)=\frac{f(x-1;y)+f(x;y-1)}{2}$

Bài 3: Tại một buổi ăn tối của 1 trường đại học; có 2017 nhà toán học mà mỗi người được ăn 2 món ăn sao cho không có 2 người nào ăn cả 2 món giống nhau. Giá của một món ăn bằng số nhà toán học ăn nó, và trường đại học này sẽ trả tiền cho mỗi người món ăn ít tiền hơn trong 2 món mà họ ăn. Hỏi tổng số tiền mà trường đại học này phải trả lớn nhất là bao nhiêu?

nguồn

P/s: Có thể mình dịch không chuẩn lắm; dịch sai chỗ nào các bạn ib góp ý; không up lên ở đây


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 02-01-2018 - 15:01

  :D :D  :D 

“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D  :D  :D 


#2 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 23-03-2018 - 00:29

Hiện đã có đề TST January, xin mạn phép đăng để hoàn thiện topic.

 

Bài 1: Cho số nguyên dương $n$ và $S\subseteq\{0,1\}^n$ là một tập các xâu nhị phân độ dài $n$. Cho một số lượng lẻ các xâu (không nhất thiết phân biệt) $x_1,\, x_2,\, \dots ,\, x_{2k+1}\in S$, ta gọi "đa số" của chúng là xâu $y\in\{0,1\}^n$ sao cho bit thứ $i$ của $y$ là bit xuất hiện nhiều lần nhất trong số các bit thứ $i$ của $x_1,\, x_2,\, \dots ,\, x_{2k+1}$ (ví dụ, khi $n=4$, "đa số" của 0000, 0000, 1101, 1100, 0101 là 0100.)

 

Giả sử với số nguyên dương $k$ nào đó $S$ có tính chất $P_k$ sao cho đa số của bất kỳ $2k+1$ xâu trong $S$ (có thể có trùng lặp) cũng thuộc $S$. Chứng minh rằng $S$ cũng có tính chất $P_k$ với mọi $k$. 

 

Bài 2: Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi, sao cho nó có hai đường chéo vuông góc nhau tại $H$, và không có hai cạnh kề nhau nào bằng nhau. Gọi $M,\ N$ lần lượt là các trung điểm các đoạn $BC, \, CD$. Các tia $MH$ và $NH$ cắt các đoạn $AD,\, AB$ lần lượt tại $S$ và $T$. Chứng minh rằng tồn tại điểm $E$ nằm bên ngoài $ABCD$ sao cho:

 

$\quad \bullet$ tia $EH$ chia đôi các góc $BES$, $TED$ và

$\quad \bullet$ $\angle BEN = \angle MED$.

 

Bài 3: Alice và Bob cùng chơi một trò chơi. Đầu tiên Alice bí mật chọn một tập hữu hạn $S$ các điểm nguyên trên mặt phẳng Đề-các. Sau đó, với mọi đường thẳng $\ell$ trên mặt phẳng mà song song với trục tung hay trục hoành hay có hệ số góc bẳng $\pm 1$, Alice nói cho Bob biết số điểm thuộc $S$ mà $\ell$ đi qua. Bob dành chiến thắng nếu anh ta có thể xác định được $S$. 

 

Chứng minh rằng nếu Alice chọn một tập $S$ có dạng

$$S = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid m \le x^2 + y^2 \le n\}$$

với số nguyên dương $m, n$ nào đó, Bob có thể thắng trò chơi này (Bob không hề biết rằng $S$ có dạng trên.)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 23-03-2018 - 00:59





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh