Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Với mỗi số nguyên dương $n> 2,$ xét đa thức $P_{n}(x)=x^{n}-nx+1.$

1. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $n> 2$ sẽ tồn tại duy nhất một số thực $r_{n}\in \left ( 0, 1 \right )$ là nghiệm của $P_{n}(x).$

2. Tính giới hạn $L=\lim\left ( n^{n+1}r_{n}-n^{n} \right ).$ 

[An Infinitesimal]

Với mỗi số nguyên dương $n> 2,$ xét đa thức $P_{n}(x)=x^{n}-nx+1.$

1. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $n> 2$ sẽ tồn tại duy nhất một số thực $r_{n}\in \left ( 0, 1 \right )$ là nghiệm của $P_{n}(x).$

2. Tính giới hạn $L=\lim\left ( n^{n+1}r_{n}-n^{n} \right ).$ 

 

Một lời giải khá ảo! Dự đoán, thử chứng minh và kết thúc!

 

1. Dễ thấy. Tuy nhiên, ta sẽ chứng minh điều "mạnh hơn". Điều này được "thúc đẩy" từ việc tìm kiếm $L$.

$r_n \ge \frac{1}{n\sqrt[n]{e}}$

2.  Vì $nr_n-1=r_n^n \le r_n$ nên $r_n \le \frac{1}{n-1}, \, n>2.$

 

Đặt $f_n:=n^{n+1}r_{n}-n^{n}=\left(nr_n\right)^n,\, n\in \mathbb{N}.$

Khi đó, \[ \frac{1}{e}\le f_n \le \frac{1}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}, n\ge 2.\]

Áp dụng Định lý kẹp, ta có $\lim f_n=\frac{1}{e}. $