Chủ đề này có 7 trả lời

[buingoctu]

Câu 1: a, $(x^{2}-x+1) \sqrt{3x^{2}+2x+4} -2x^{3}+x^{2}-x-1=0$

b,$\sqrt{6x^{2}-24x+27} +\sqrt{6x^{2}-8x+11} +\sqrt{22x^{2}+12x+17}=3\sqrt{2}(x+2)$

c, Cho x;y là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y=2a+1 & \\x^{2}+y^{2}=(a+1)^{2} & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN, GTNN của P=xy

d, cho $0\leq a,b,c\leq 3$ và a+b+c=4

CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 10$

e,Cho $0< a,b,c< 1$

CM: $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}< 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

< chúc mừng năm mới nha mọi người >

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 09-01-2018 - 19:22

[MathematicsLover]

a)

$(x^{2}-x+1)\sqrt{3x^2+2x+4}-2x^{3}+x^{2}-x-1=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)\sqrt{3x^2+2x+4}-(2x^{3}+2)+x^{2}-x+1=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)\sqrt{3x^2+2x+4}-2(x+1)(x^{2}-x+1)+(x^{2}-x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)(\sqrt{3x^2+2x+4}-2x-1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2+2x+4}=2x+1$ $x\geq -1/2$

$\Leftrightarrow 3x^2+2x+4=4x^2+4x+1$

$\Leftrightarrow x^2+2x-3=0$

$\Rightarrow x=1$

[nmtuan2001]

c, Cho x;y là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y=2a+1 & \\x^{2}+y^{2}=(a+1)^{2} & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN, GTNN của P=xy

$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2$

$2(a+1)^2 \geq (2a+1)^2$

$2a^2-1 \leq 0$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Ta có $2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=(2a+1)^2-(a+1)^2=3a^2+2a \leq 3(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+2(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$

Suy ra max $xy=\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$ khi $x=y={\sqrt{2}+1}{2}$

$xy=3a^2+2a=(a\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}})^2-\frac{1}{3} \geq -\frac{1}{3}$

Vậy min $xy=-\frac{1}{3}$ khi $a=-\frac{1}{3}$, hay $x=\frac{1+\sqrt{7}}{3}, y=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$

[nmtuan2001]

b,$\sqrt{6x^{2}-24x+27} +\sqrt{6x^{2}-8x+11} +\sqrt{22x^{2}+12x+17}=3\sqrt{2}(x+2)$

$\sqrt{6x^2-24x+27}=\sqrt{(2x-3)^2+2(x-3)^2} \geq \sqrt{2(x-3)^2} \geq (3-x)\sqrt{2}$

$\sqrt{6x^2-8x+11}=\sqrt{(2x-3)^2+2(x+1)^2} \geq \sqrt{2(x+1)^2} \geq (x+1)\sqrt{2}$

$\sqrt{22x^2+12x+17}=\sqrt{(2x-3)^2+2(3x+2)^2} \geq \sqrt{2(3x+2)^2} \geq (3x+2)\sqrt{2}$

Do đó $VT \geq \sqrt{2}(3-x+x+1+3x+2)=VP$.

Dấu $=$ xảy ra nên $x=\frac{3}{2}$.

[nmtuan2001]

d, cho $0\leq a,b,c\leq 3$ và a+b+c=4

CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 10$

Giả sử $a \geq b \geq c$, ta có:

$$a^2+b^2+c^2 \leq a^2+(b+c)^2=a^2+(4-a)^2$$

Cần chứng minh $a^2+(4-a)^2 \leq 10$, hay $(a-1)(a-3) \leq 0$.

BĐT hiển nhiên đúng vì $a-3 \leq 0$ và $a-1>0$ (vì $a=max(a,b,c) \geq \frac{a+b+c}{3}>1$).

Dấu $=$ xảy ra khi $(a,b,c)=(3,1,0)$ và các hoán vị.

[buingoctu]

e,Cho $0< a,b,c< 1$

CM: $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}< 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

< chúc mừng năm mới nha mọi người>

 câu e, với 0< a <1

=>$1> a> a^{2}> a^{3}> 0$$

Tương tự: $1> b> b^{2}> b^{3}$

$1> c> c^{2}> c^{3}$

Dễ thấy $(a^{2}-1)(b-1)> 0$

<=>$a^{2}b-a^{2}-b+1> 0$

<=>$a^{2}b+1> a^{2}+b$

Tương tự... ròi cộng vào

=>$3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a> a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c>2(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 07-01-2018 - 19:57

[Tippo2002]

Câu 1: a, $(x^{2}-x+1) \sqrt{3x^{2}+2x+4} -2x^{3}+x^{2}-x-1=0$

b,$\sqrt{6x^{2}-24x+27} +\sqrt{6x^{2}-8x+11} +\sqrt{22x^{2}+12x+17}=3\sqrt{2}(x+2)$

c, Cho x;y là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y=2a+1 & \\x^{2}+y^{2}=(a+1)^{2} & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN, GTNN của P=xy

d, cho $0\leq a,b,c\leq 3$ và a+b+c=4

CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1$

e,Cho $0< a,b,c< 1$

CM: $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}< 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

< chúc mừng năm mới nha mọi người >

câu d sai đề bạn ơi

[buingoctu]

câu d sai đề bạn ơi

sửa rùi bạn, sorry

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 09-01-2018 - 19:22