Chủ đề này có 7 trả lời

[buingoctu]

1, Cho $(\sqrt{a}+2)(\sqrt{b}+2)\geq 9$

Tìm GTNN của P= $\frac{a^{3}}{a^{2}+2b^{2}}$$+\frac{b^{3}}{b^{2}+2a^{2}}$

2, Cho a,b dương và a+b+ab $\leq 3$

CM: $\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+b-3}-(a+b)\geq \frac{1}{4}(ab-3)$

3, Cho x,y,z là 3 số thực, tìm GTLN của :

A=$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}$

4, Cho a,b,c>0 và a+b+c=12

CMR: $\frac{ab}{c+12}+\frac{bc}{a+12}+\frac{ac}{b+12}\leq 3$

5, Cho a,b dương và $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$

CM: $\frac{1}{a+1} +\frac{1}{b+1}+2015ab\leq 2016$

6, Cho a,b,c thực dương và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CM: $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 03-01-2018 - 21:02

[MathematicsLover]

5,

$a+b\geq 2\sqrt{ab}=>12\geq (a+b)^3+4ab\geq 8(\sqrt{ab})^{3}+4(\sqrt{ab})^{2}$

$\Rightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0\Rightarrow \sqrt{ab}\leq 1$

$\Rightarrow (\sqrt{ab}-1)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 0$

$\Leftrightarrow (a+b+2)(1+\sqrt{ab})\leq 2(a+1)(b+1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Cần chứng minh: $\frac{2}{1+\sqrt{ab}} +2015ab\leq 2016$

Đặt $\sqrt{ab}=t(0\leq t\leq 1)$

$\frac{2}{t+1}+2015t^2\leq 2016\Leftrightarrow 2015t^3+2015t^2-2016t-2014\leq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(2015t^2+4030t+2014)\leq 0$ (luôn đúng)

Vậy $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsLover: 04-01-2018 - 16:35

[MathematicsLover]

4,

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \forall x,y> 0$

Ta có:$A=\frac{ab}{c+12}+\frac{bc}{a+12}+\frac{ca}{b+12}= \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}+\frac{ca}{(a+b)+(b+c)}$

$A\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})+\frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})+\frac{ac}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c})$

$A\leq \frac{1}{4}(a+b+c)=3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

[nmtuan2001]

1, Cho $(\sqrt{a}+2)(\sqrt{b}+2)\geq 9$

Tìm GTNN của P= $\frac{a^{3}}{a^{2}+2b^{2}}$$+\frac{b^{3}}{b^{2}+2a^{2}}$

$P=\frac{a^4}{a^3+2ab^2}+\frac{b^4}{b^3+2a^2b} \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a^3+b^3+2a^2b+2ab^2}=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+ab+b^2)(a+b)}$

Mà $a^2+ab+b^2 \leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)$ nên $P \geq \frac{2(a^2+b^2)}{3(a+b)} \geq \frac{a+b}{3}$.

$9=(\sqrt{a}+2)(\sqrt{b}+2)=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+4)^2}{4} \leq \frac{(\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}+4)^2}{4}=\frac{(\frac{a+b}{2}+5)^2}{4}$.

Từ đây suy ra $a+b \geq 2$, do đó $P \geq \frac{2}{3}$.

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 04-01-2018 - 19:49

[nmtuan2001]

2, Cho a,b dương và a+b+ab $\leq 3$

CM: $\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+b-3}-(a+b)\geq \frac{1}{4}(ab-3)$

BĐT tương đương với $a+b+\frac{1}{a+b-3}-\frac{1}{a+b} \leq \frac{3-ab}{4}$.

Đặt $a+b=x$, ta có $x \leq 3-ab$.

Cần chứng minh $x+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x} \leq \frac{x}{4}$

$$\frac{3x}{4}+\frac{3}{x(x-3)} \leq 0$$

$$x^2(x-3)+4 \geq 0$$

$$(x-2)^2(x+1) \geq 0$$

BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=1$.

[buingoctu]

C2 câu 4: Anh chị em xem thử có đúng ko.

Có $\frac{ab}{c+12}\leq \frac{(a+b)^{2}}{4(c+12)}\doteq \frac{(a+b)^{2}}{96-4(a+b)}$$= \frac{x^{2}}{96-x}$

(với x=a+b)

Tương tự: $\frac{bc}{a+12}\leq \frac{y^{2}}{96-4y}$

(với y=b+c)

$\frac{ca}{b+12}\leq \frac{z^{2}}{96-4z}$

(với z=c+a)

Có x+y+z=24

Lại có :$\frac{x^{2}}{4x-96}+\frac{y^{2}}{4y-96}+\frac{z^{2}}{4z-96}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{4(x+y+z)-288}\geq -3$

Suy ra:$\frac{x^{2}}{96-4x}+\frac{y^{2}}{96-4y}+\frac{z^{2}}{96-4z}\leq 3$

Vậy điều cần CM là đúng

Dấu đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=4

 

[nmtuan2001]

3, Cho x,y,z là 3 số thực, tìm GTLN của :

A=$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}$

$$A=\frac{xyz(x+y+z)}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xyz}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)^2}}$$

$$\leq \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xyz}{\sqrt{(\frac{(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)}{3})^3}}$$

$$= \frac{xy+yz+zx}{3(x^2+y^2+z^2)}+\frac{xyz}{\frac{(x+y+z)^3}{3\sqrt{3}}}$$

$$\leq \frac{1}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{27}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{9}$$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$.

[buingoctu]

4,

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \forall x,y> 0$

Ta có:$A=\frac{ab}{c+12}+\frac{bc}{a+12}+\frac{ca}{b+12}= \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}+\frac{ca}{(a+b)+(b+c)}$

$A\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})+\frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})+\frac{ac}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c})$

$A\leq \frac{1}{4}(a+b+c)=3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

dấu "=' xảy ra <=> a=b=c=4

Mỗi thế thui còn lại cách làm là đúng rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 07-01-2018 - 14:44