Chủ đề này có 1 trả lời

[Chika Mayona]

Giúp mình với ạ

[chanhquocnghiem]

2018-01-03_210927.png

Giúp mình với ạ

Gọi tâm của đáy hình nón là $O$, tâm hình cầu là $I$. Hình cầu tiếp xúc với mặt bên hình nón $\Rightarrow I$ thuộc tia $SO$

Đặt $SI=x$. Vì thiết diện hình nón qua trục là tam giác đều nên mặt cầu tiếp xúc với cả mặt bên và đáy nón khi $x=\frac{2R\sqrt3}{3}$

Hơn nữa, đường sinh hình nón bằng $2R\Rightarrow$ hình cầu chỉ tiếp xúc với mặt bên hình nón khi $x\leqslant \frac{2R}{\cos30^o}=\frac{4R\sqrt3}{3}$. Do vậy ta chỉ cần xét $x\in \left [ \frac{2R\sqrt3}{3};\frac{4R\sqrt3}{3} \right ]$

Khi $x\in \left [ \frac{2R\sqrt3}{3};\frac{4R\sqrt3}{3} \right ]$ thì phần thể tích chung của hình nón và hình cầu, gọi là hình chỏm cầu, tính theo công thức $V=\frac{\pi.h}{6}\ (3a^2+h^2)$ ($h,a$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của chỏm cầu)

Gọi bán kính mặt cầu là $r$, các giao điểm của tia $SO$ với mặt cầu là $A$ và $B$ ($SA< SB$)

$SB=SI+r=x+x\sin30^o=\frac{3}{2}\ x\Rightarrow OB=SB-SO=\frac{3}{2}\ x-R\sqrt3$

$h=2r-OB=x-\left ( \frac{3}{2}\ x-R\sqrt3 \right )=R\sqrt3-\frac{x}{2}$ (1)

$a^2=r^2-OI^2=r^2-(h-r)^2=\left ( \frac{x}{2} \right )^2-\left ( h-\frac{x}{2} \right )^2=\frac{x^2}{4}-(R\sqrt3-x)^2$ (2)

Thay vào, rút gọn $\Rightarrow V=\frac{\pi}{6}\left [ x^3-\left ( \frac{9R\sqrt3}{2} \right )x^2+18R^2x \right ]$

$V'_x=\frac{\pi}{2}(x^2-3R\sqrt3\ x+6R^2)$

$V'_x=0\Leftrightarrow x=2R\sqrt{3}$ (loại vì chỉ xét $x\in \left [ \frac{2R\sqrt3}{3};\frac{4R\sqrt3}{3} \right ]$) hoặc $x=R\sqrt3$, tức $r=\frac{R\sqrt3}{2}$