Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho phương trình $x^{5}-y^{2}=4$ Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm nguyên.

phương trình nghiệm nguyên đồng dư số chính phương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 03-01-2018 - 21:52

Cho phương trình $x^{5}-y^{2}=4$

Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm nguyên.



#2 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 07-01-2018 - 10:57

Dùng tính chất số nguyên tố dạng $4k+3$. 

Nếu $x$ chẵn thì $y$ cũng chẵn. Đặt $x=2m$ và $y=2n$ thì $8m^5-n^2=1 \Rightarrow n^2 \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy $x$ lẻ. Xét $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 3 (mod 4)$ 

Xét $x \equiv 1 (mod 4)$ thì $y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#3 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2018 - 22:13

$y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế

mình không hiểu đoạn này, bạn giải thích được không?

#4 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 14-01-2018 - 22:34

Mình dùng bổ để : Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ thỏa $x^2+y^2 \vdots p$ thì khi đó $x,y \vdots p$

Có gì xem chứng minh tại đây:

https://julielltv.wo...n-du-trung-hoa/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 15-01-2018 - 19:58

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#5 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-01-2018 - 19:29

Mình dùng bổ để : Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ thỏa $x^2+y^2 \vdots p$ thì khi đó $x,y \vdots p$

Bổ đề này chứng minh thế nào vậy bạn?



#6 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 15-01-2018 - 20:23

Bổ đề này chứng minh thế nào vậy bạn?

Nếu x chc p => y chc p

Nếu x kochc p => y kochc p . p nguyên tố => (x,p)=1 (y,p)=1

AD Ferma => xp-1-1 chc p; yp-1-1 chc p => xp-1-yp-1 chc p

p có dạng 4k+3 => p-1=4k+2

=> x4k+2-y4k+2 chc p

mà x2+y2 chc p => x4k+2+y4k+2 chc p => 2* y4k+2 chc p mà (y,p)=1 => 2 chc p => p=2 vô lý


"All people are nothing but tools. It doesn't matter how it done. It doesn't matter what need to be sacrificed. In this world winning is everything. As long as I win in the end. That's all that matters"    


#7 nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 15-01-2018 - 22:40

Dùng tính chất số nguyên tố dạng $4k+3$. 

Nếu $x$ chẵn thì $y$ cũng chẵn. Đặt $x=2m$ và $y=2n$ thì $8m^5-n^2=1 \Rightarrow n^2 \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy $x$ lẻ. Xét $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 3 (mod 4)$ 

Xét $x \equiv 1 (mod 4)$ thì $y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế

không cần dài thế đâu bạn chỉ cần xét mod 11 là xong ngay



#8 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 18-01-2018 - 22:01

Dùng tính chất số nguyên tố dạng $4k+3$. 

Nếu $x$ chẵn thì $y$ cũng chẵn. Đặt $x=2m$ và $y=2n$ thì $8m^5-n^2=1 \Rightarrow n^2 \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy $x$ lẻ. Xét $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 3 (mod 4)$ 

Xét $x \equiv 1 (mod 4)$ thì $y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế

Tại sao x+2 là số nguyên tố vậy bạn ??


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#9 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 18-01-2018 - 22:53

Tại sao x+2 là số nguyên tố vậy bạn ??

bạn ấy sử dụng tc này

x chia 4 dư 1 => x+2 chia 4 dư 3

khi đó tồn tại một ước số nguyên tố p có dạng 4k+3

cm nhé số x+2=a1x1a2x2...anxn (khi đó a1,a2,...,an là số nguyên tố , x1,x2,...xn là SND)

nếu không tồn tại ước nguyên tố nào chia 4 dư 3

mà x+2 lẻ => tất cả các ước nguyên tố đó đều chia 4 dư 1 => x+2 chia 4 dư 1 (vô lý)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 18-01-2018 - 22:57

"All people are nothing but tools. It doesn't matter how it done. It doesn't matter what need to be sacrificed. In this world winning is everything. As long as I win in the end. That's all that matters"    


#10 hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghĩa Đàn - Nghệ An (PBC)
  • Sở thích:Tổ hợp, Bất đẳng thức

Đã gửi 12-03-2018 - 11:38

không cần dài thế đâu bạn chỉ cần xét mod 11 là xong ngay

Như thế nào?







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh