Đến nội dung

Hình ảnh

Cho phương trình $x^{5}-y^{2}=4$ Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm nguyên.

phương trình nghiệm nguyên đồng dư số chính phương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho phương trình $x^{5}-y^{2}=4$

Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm nguyên.



#2
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Dùng tính chất số nguyên tố dạng $4k+3$. 

Nếu $x$ chẵn thì $y$ cũng chẵn. Đặt $x=2m$ và $y=2n$ thì $8m^5-n^2=1 \Rightarrow n^2 \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy $x$ lẻ. Xét $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 3 (mod 4)$ 

Xét $x \equiv 1 (mod 4)$ thì $y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#3
NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

$y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế

mình không hiểu đoạn này, bạn giải thích được không?

#4
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Mình dùng bổ để : Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ thỏa $x^2+y^2 \vdots p$ thì khi đó $x,y \vdots p$

Có gì xem chứng minh tại đây:

https://julielltv.wo...n-du-trung-hoa/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 15-01-2018 - 19:58

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#5
NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Mình dùng bổ để : Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ thỏa $x^2+y^2 \vdots p$ thì khi đó $x,y \vdots p$

Bổ đề này chứng minh thế nào vậy bạn?



#6
YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Bổ đề này chứng minh thế nào vậy bạn?

Nếu x chc p => y chc p

Nếu x kochc p => y kochc p . p nguyên tố => (x,p)=1 (y,p)=1

AD Ferma => xp-1-1 chc p; yp-1-1 chc p => xp-1-yp-1 chc p

p có dạng 4k+3 => p-1=4k+2

=> x4k+2-y4k+2 chc p

mà x2+y2 chc p => x4k+2+y4k+2 chc p => 2* y4k+2 chc p mà (y,p)=1 => 2 chc p => p=2 vô lý


Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#7
nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Dùng tính chất số nguyên tố dạng $4k+3$. 

Nếu $x$ chẵn thì $y$ cũng chẵn. Đặt $x=2m$ và $y=2n$ thì $8m^5-n^2=1 \Rightarrow n^2 \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy $x$ lẻ. Xét $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 3 (mod 4)$ 

Xét $x \equiv 1 (mod 4)$ thì $y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế

không cần dài thế đâu bạn chỉ cần xét mod 11 là xong ngay



#8
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Dùng tính chất số nguyên tố dạng $4k+3$. 

Nếu $x$ chẵn thì $y$ cũng chẵn. Đặt $x=2m$ và $y=2n$ thì $8m^5-n^2=1 \Rightarrow n^2 \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy $x$ lẻ. Xét $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 3 (mod 4)$ 

Xét $x \equiv 1 (mod 4)$ thì $y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế

Tại sao x+2 là số nguyên tố vậy bạn ??


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#9
YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Tại sao x+2 là số nguyên tố vậy bạn ??

bạn ấy sử dụng tc này

x chia 4 dư 1 => x+2 chia 4 dư 3

khi đó tồn tại một ước số nguyên tố p có dạng 4k+3

cm nhé số x+2=a1x1a2x2...anxn (khi đó a1,a2,...,an là số nguyên tố , x1,x2,...xn là SND)

nếu không tồn tại ước nguyên tố nào chia 4 dư 3

mà x+2 lẻ => tất cả các ước nguyên tố đó đều chia 4 dư 1 => x+2 chia 4 dư 1 (vô lý)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 18-01-2018 - 22:57

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#10
hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

không cần dài thế đâu bạn chỉ cần xét mod 11 là xong ngay

Như thế nào?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình nghiệm nguyên, đồng dư, số chính phương

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh