Chủ đề này có 2 trả lời

[hoicmvsao]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR:$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$

[nmtuan2001]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR:$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$

Áp dụng BĐT $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)$, ta có:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq \sqrt{3(\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}+\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}+\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c})}=\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=3$

[thanhan2003]

Mình chứng minh đầy đủ luôn nè!

Đặt ab/c=x; bc/a=y; ca/b=z   => xy=b²; yz=c²; zx=a²  => xy+yz+xz = a²+b²+c² = 3   (1)

Ta có: (x-y)² ≥0; (y-z)²≥ 0; (z-x)²≥0 => x²-2xy+y² + y²-2yz+z² + z²-2zx+x²≥0

=> x²+y²+z²≥xy+yz+xz

=> x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz ≥ 3(xy+yz+xz)

=> (x+y+z)² ≥ 3(xy+yz+xz)   kết hợp (1)

=> (x+y+z)² ≥ 3.3 

=> x+y+z ≥ 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z và a²+b²+c² = 3 khi và chỉ khi a=b=c và a²+b²+c² = 3 khi và chỉ khi a=b=c=1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.