Chủ đề này có 3 trả lời

[leminhansp]

Bài toán: Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Hai điểm $C,D$ tùy ý trên nửa đường tròn đó ($C$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $H=AD\cap BC$, $E=AC\cap BD$, $F=CD\cap AB$. CMR $OH\perp EF$.

 

[Minhcamgia]

Bài toán: Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Hai điểm $C,D$ tùy ý trên nửa đường tròn đó ($C$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $H=AD\cap BC$, $E=AC\cap BD$, $F=CD\cap AB$. CMR $OH\perp EF$.

 

HH.png

Gọi $P$ là giao của $EF$ và đường tròn $(ECD)$ , $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta EAB$. Ta có $\angle BCA = \angle BDA = 90 \Rightarrow ABDC$ nội tiếp $\Rightarrow FC.FD = FB.FC$ mà $FD.FC = FP.FE \Rightarrow FB.FC = FE.FP \Rightarrow EPBC$ nội tiếp $\Rightarrow P \in (EAB)$. Lại có $p \in (CED) \Rightarrow \angle EPH = \angle ECD = 90$.

Gọi $K$ là giao của $PH$ và $(I) \Rightarrow EK$ là đường kính của $(I) \Rightarrow AK \perp AE; BK \perp BE$ mà $AD \perp BE; BC \perp AE \Rightarrow BC \parallel AK; BK \parallel AD$ hay $BH \parallel AK; AH \parallel BK \Rightarrow AHBK$ là hình bình hành $\Rightarrow H,O,K$ thẳng hàng $\Rightarrow OH \perp EF$ tại $P$ $(dpcm)$.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 24-04-2018 - 18:17

[Minhcamgia]

Bài toán: Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Hai điểm $C,D$ tùy ý trên nửa đường tròn đó ($C$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $H=AD\cap BC$, $E=AC\cap BD$, $F=CD\cap AB$. CMR $OH\perp EF$.

 

HH.png

Cách khác.

Gọi $S$ là giao của đường tròn $(AOC)$ và $(BOD)$. Ta có $\angle CSD = 360 - \angle CSO - \angle DSO = (180 - \angle DSO) + (180 - \angle CSO)  = \angle CAO + \angle DBO= \angle EAB + \angle EBA = 180 - \angle CED \Rightarrow \angle CED = 180 - \angle CSD \Rightarrow CSDE$ nội tiếp $\Rightarrow \angle ESD + \angle DSO = \angle ECD  +\angle DSO = \angle EBA + \angle DSO = \angle DBO + \angle DSO = 180 \Rightarrow D,S,O$ thẳng hàng $\Rightarrow \angle SCD = \angle SED = \angle ODB - \angle DOE = \angle OBD - \angle DBS = \angle SBF \Rightarrow CSBF$ nội tiếp $\Rightarrow \angle SFO + \angle SOF = \angle SCB + \angle SCE = \angle BCE = 90 \Rightarrow BS \perp EO$ mà $S \in (ECD) \Rightarrow \angle HSE = \angle HDE = 90 \Rightarrow HS \perp EO \Rightarrow FH \perp EO$ mặt khác $BC \perp EA; CD \perp EB \Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta EAB \Rightarrow EH \perp OF \Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta EFO \Rightarrow OH \perp EF$ $(dpcm)$.

Hình gửi kèm

• 

[Minhcamgia]

Cách khác.

Qua $E$ kẻ đường vuông góc với $FH$ tại $S$, cắt $AB$ tại $O'$. Ta có $FH \perp AO'; EH \perp FO \Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta EFO' \Rightarrow O'H \perp EF$. $\angle ESH = \angle EDH = 90 \Rightarrow EDSH$ nội tiếp $\Rightarrow E,D,C,H,S$ cùng thuộc một đường tròn $\Rightarrow \angle CSF  = \angle CFH = \angle CDH = \angle CDA = \angle CBA = \angle CBF \Rightarrow \angle CSF= \angle CBF \Rightarrow CSBF$ nội tiếp mà $\angle ESD = \angle ECD = \angle DCO' \Rightarrow SDBO'$ nội tiếp $\Rightarrow \angle O'DB = \angle O'SB = \angle FSB - \angle FSO' = \angle FCB - 90 = \angle FCA = \angle DCE = \angle DSE = \angle O'BD \Rightarrow \angle O'BD = \angle O'DB \Rightarrow O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABD \Rightarrow O'$ là trung điểm của $AB \Rightarrow O' \equiv O \Rightarrow OH \perp EF$ $(dpcm)$.

Hình gửi kèm

•