Chủ đề này có 4 trả lời

[DOTOANNANG]

Với mỗi số nguyên dương k, ta xét dãy $\left ( a_{n} \right )_{n\geq 1}$ xác định bởi:

$a_{n}= \sqrt{k+ \sqrt{k+ ...+ \sqrt{k}}}$

Biểu thức trên có n dấu căn.

Chứng minh rằng dãy số này hội tụ với mỗi số nguyên dương k. Tìm k để giới hạn của dãy là số nguyên. Chứng minh rằng k lẻ thì giới hạn của dãy là vô tỉ.

[INXANG]

vài ngày trước mình có đọc qua thì thấy đề này khá hay nhưng bây giờ không nhớ nổi . Hình như là đề thi nước nào đó. Cảm ơn DOTOANNANG đã post đề này lên

[INXANG]

Với mỗi số nguyên dương k, ta xét dãy $\left ( a_{n} \right )_{n\geq 1}$ xác định bởi:

$a_{n}= \sqrt{k+ \sqrt{k+ ...+ \sqrt{k}}}$

Biểu thức trên có n dấu căn.

Chứng minh rằng dãy số này hội tụ với mỗi số nguyên dương k. Tìm k để giới hạn của dãy là số nguyên. Chứng minh rằng k lẻ thì giới hạn của dãy là vô tỉ.

Hình như là Ả rập Saudi thì phải

[NHN]

Bạn INXANG cho mình hỏi đề năm nào vậy do mình không thấy bài này trong đề năm nay 

Ta thầy $a_n >0 $ với mọi $n \in N$. Xét $f(x)=\sqrt{k+x}$ với mọi $x >0$ vậy $f(x)$ đồng biến 

Ta thấy $a_2=\sqrt{k+\sqrt{k}} > \sqrt {k}=a_1$ nên dãy $(a_n)$ tăng

Nghiệm dương của phương trình giới hạn là $\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}$ chính là chặn trên của dãy $(a_n)$ (qui nạp)

Đề giới hạn là 1 số nguyên vậy $\sqrt{1+4k} $ là 1 số lẻ vậy $k$ phải chẵn  (1)

Mình thấy đề không kêu tìm tất cả $k$ nhưng nếu giải ra thì ta cho $k=c(c+1)$

Khi $k$ lẻ ta thấy ra vô tỉ do (1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 05-01-2018 - 17:41

[An Infinitesimal]

Hình như là Ả rập Saudi thì phải

 

Năm nào thế bạn?

 

Với mỗi số nguyên dương k, ta xét dãy $\left ( a_{n} \right )_{n\geq 1}$ xác định bởi:

$a_{n}= \sqrt{k+ \sqrt{k+ ...+ \sqrt{k}}}$

Biểu thức trên có n dấu căn.

(i) Chứng minh rằng dãy số này hội tụ với mỗi số nguyên dương k.

 

(ii) Tìm k để giới hạn của dãy là số nguyên.

 

(ii) Chứng minh rằng k lẻ thì giới hạn của dãy là vô tỉ.

 

 

 

(i) Dãy $\{a_n\}$ có thể viết lại dưới dạng dãy truy hồi: $a_1=\sqrt{k},\quad a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}, n\ge 1.$

 

Vì $f(x)=\sqrt{k+x}$ là hàm tăng trên $D=(0,\infty)$, $a_n \in D\forall n\in D, \quad a_1<a_2$ nên dãy $\{a_n\}$ là dãy tăng.

 

Hơn nữa, ta dễ dàng kiểm tra được $a_n\le \frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}, n\ge 1.$

 

Suy ra dãy đơn điệu và bị chặn $\{a_n\}$ hội tụ.

 

Và dễ dàng chỉ ra $\lim a_n\le \frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.$

 

 

(ii) Giới hạn dãy $\{a_n\}$ là số nguyên khi và chỉ khi nguyên lớn hơn $\ell: \ell\ge 2$ sao cho

$$\ell=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}. $$

 

Khi và chỉ khi số nguyên dương $k$ có dạng $ k=\ell^2-\ell, \ell\in \mathbb{N}: \ell\ge 2.$

 

(iii) $4k+1$ là số chính phương khi và chỉ khi $\ell\in \mathbb{Z}$ (lưu ý: $4k+1$ là số lẻ).

Do đó, với $k$ lẻ thì không tồn tại $\ell\in \mathbb{N}: \ell\ge 2$ sao cho $k=\ell^2-\ell$. Vì thế  $\lim a_n \not\in \mathbb{Z} $ nên $4k+1$ không là số chính phương.

Suy ra $\lim a_n$ là số vô tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 05-01-2018 - 18:21