Chủ đề này có 1 trả lời

[PhamQuocSang]

(Phạm Quốc Sang) Cho f $a,b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng  \[\frac{{2a + \sqrt {bc} }}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{2b + \sqrt {ca} }}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{2c + \sqrt {ab} }}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \geqslant \frac{{81}}{4}.\frac{{ab + bc + ca}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 07-01-2018 - 10:43

[nmtuan2001]

(Phạm Quốc Sang) Cho f $a,b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng  \[\frac{{2a + \sqrt {bc} }}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{2b + \sqrt {ca} }}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{2c + \sqrt {ab} }}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \geqslant \frac{{81}}{4}.\frac{{ab + bc + ca}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}\]

Áp dụng BĐT GM-HM: $\sqrt{bc} \geq \frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{2bc}{b+c}$

Suy ra $2a+\sqrt{bc} \geq 2a+\frac{2bc}{b+c}=\frac{2(ab+bc+ca)}{b+c}$

Ta được $VT \geq \sum \frac{2(ab+bc+ca)}{(b+c)^3}$.

Cần chứng minh $\sum \frac{1}{(b+c)^3} \geq \frac{81}{8(a+b+c)^3}$

Nhân cả 2 vế với $(a+b+c)^3$:

$$\sum (\frac{a}{b+c}+1)^3 \geq \frac{81}{8}$$

BĐT đúng vì $\sum (\frac{a}{b+c}+1)^3 \geq \frac{1}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3)^3 \geq \frac{1}{9}(\frac{3}{2}+3)^3=\frac{81}{8}$.

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.