Chủ đề này có 4 trả lời

[huythanhquag]

Giải hệ phương trình

a)$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{\sqrt{y}}} &=2 \\ {\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{\sqrt{x}}} &=2 \end{matrix}\right.$

b)$\left\{\begin{matrix} 3x-y^{2} & =1 & \\ 3y-z^{2} & =1 & \\ 3z-x^{2} & =1 & & \end{matrix}\right.$

c)$\left\{\begin{matrix} x^{2}+12y &=-20 & \\ y^{2}+12z &=-20 & & \\z^{2}+12x &=-20 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-3y^{2}-9y & =9 & \\y^{3}-3z^{2}-9z & =9 & & \\z^{3}-3x^{2}-9x & =9 & & \end{matrix}\right.$

 

[nmtuan2001]

c)$\left\{\begin{matrix} x^{2}+12y &=-20 & \\ y^{2}+12z &=-20 & & \\z^{2}+12x &=-20 & & \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x^2 \geq 0$, mà $x^2+12y<0$ nên $y<0$. Tương tự, ta được $x,y,z<0$. Đặt $x=-a,y=-b,z=-c$ thì $a,b,c>0$.

Ta có hệ PT:

$$\left\{\begin{matrix} a^{2}-12b &=-20 & \\ b^{2}-12c &=-20 & & \\c^{2}-12a &=-20 & & \end{matrix}\right.$$

Giả sử $a=max(a,b,c)$.

Ta có $a^2-12b-(b^2-12c)=a^2-b^2+12(c-b)=0$, mà $a^2-b^2 \geq 0$ nên $12(c-b) \leq 0$, hay $b \geq c$.

$b^2-12c-(c^2-12a)=b^2-c^2+12(a-c) \geq 12(a-c) \geq 0$.

Dấu $=$ xảy ra nên $a=b=c$.

Thay vào ta được $a^2-12a+20=0$, hay $a=2$ hoặc $10$.

Vậy nghiệm của hệ là $(x,y,z)=(-2,-2,-2), (-10,-10,-10)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 10-01-2018 - 17:14

[nmtuan2001]

b)$\left\{\begin{matrix} 3x-y^{2} & =1 & \\ 3y-z^{2} & =1 & \\ 3z-x^{2} & =1 & & \end{matrix}\right.$

Biến đổi hệ thành:

$$\left\{\begin{matrix} y^{2} & =3x-1 & \\ z^{2} & =3y-1 & \\ x^{2} & =3z-1 & & \end{matrix}\right.$$

Vì $y^2 \geq 0$, $x \geq \frac{1}{3}$. Tương tự $x,y,z \geq \frac{1}{3}$.

Giả sử $x=max(x,y,z)$, ta có $x^2 \geq y^2$, hay $3z-1 \geq 3x-1$.

Suy ra $z \geq x$, mà $x=max(x,y,z)$ nên $x=y=z$.

Ta được $x^2=3x-1$, hay $x^2-3x+1=0$.

Từ đây suy ra nghiệm của hệ là $(x,y,z)=(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}),(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$

[nmtuan2001]

a)$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{\sqrt{y}}} &=2 \\ {\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{\sqrt{x}}} &=2 \end{matrix}\right.$

$$2-\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}$$

Thay vào PT(2): $\sqrt{y}+\sqrt[4]{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}=2$

Nếu $\sqrt{y}>1$, $\frac{1}{\sqrt{y}}<1$ và $\sqrt[4]{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}>1$. 

Suy ra $\sqrt{y}+\sqrt[4]{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}>2$.

Nếu $\sqrt{y}<1$, $\frac{1}{\sqrt{y}}>1$ và $\sqrt[4]{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}<1$. 

Suy ra $\sqrt{y}+\sqrt[4]{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}<2$.

Do đó $\sqrt{y}=1$, hay $y=1$. 

Ta được $x=1$.

 

 

Nếu $\sqrt{y}>1$, $\frac{1}{\sqrt{y}}<1$ và $\sqrt[4]{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}>1$. 

Suy ra $\sqrt{y}+\sqrt[4]{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}>2$.

[nmtuan2001]

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-3y^{2}-9y & =9 & \\y^{3}-3z^{2}-9z & =9 & & \\z^{3}-3x^{2}-9x & =9 & & \end{matrix}\right.$

$$\left\{\begin{matrix} x^{3}& =3y^2+9y+9 & \\y^{3}& =3z^2+9z+9 & & \\z^{3} & =3x^2+9x+9 & & \end{matrix}\right.$$

Giả sử $x=max(x,y,z)$, suy ra $3x^2+9x+9 \geq 3y^2+9y+9$, hay $z^3 \geq x^3$.

Do đó $z \geq x$. Mà $x=max(x,y,z)$ nên dấu $=$ xảy ra.

Vậy $x=y=z$. Thay vào hệ

$$x^3=3x^2+9x+9$$

$$x^3-3x^2-9x-9=0$$

Từ đây ta được $x=y=z=(1+\sqrt[3]{2})^2$

 

P/s: Post thứ 200

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 11-01-2018 - 11:42