Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $ab+bc+ca\geq 4S\sqrt{3}$ với a, b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và S là diện tích


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

CMR: $ab+bc+ca\geq 4S\sqrt{3}$

với $a, b,c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác và $S$ là diện tích.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 07-01-2018 - 09:43

Alpha $\alpha$ 


#2
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

CMR: $ab+bc+ca\geq 4S\sqrt{3}$

với a, b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và S là diện tích.

Áp dụng công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$$\sqrt{(p-a)(p-b)} \leq \frac{p-a+p-b}{2}=\frac{c}{2}$$

Từ các BĐT tương tự $(p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{abc}{8}$.

Suy ra $4S \leq \sqrt{2p.abc}=\sqrt{abc(a+b+c)}$.

Cần chứng minh: $ab+bc+ca \geq \sqrt{3abc(a+b+c)}$, hay

$$(ab+bc+ca)^2 \geq 3(ab.bc+bc.ca+ca.ab)$$

BĐT đúng theo AM-GM. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 07-01-2018 - 09:46


#3
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

CMR: $ab+bc+ca\geq 4S\sqrt{3}$
với $a, b,c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác và $S$ là diện tích.

Ta có: $(\sum ab)^2\ge 3abc(a+b+c)$.
Mặt khác: $\prod{a+b-c}=\prod{\sqrt{(a+b-c)(a+c-b)}}\le \prod\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=abc$.
$\implies (\sum ab)^2\ge 3(a+b+c)\prod{(a+b-c)}\implies \sum ab\ge \sqrt{3(a+b+c)\prod{(a+b-c)}}=4S\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 07-01-2018 - 13:41





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh