Đến nội dung

Hình ảnh

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c >0 & & \\ a+b=c\leq 1& & \end{matrix}\right.$ tìm GTNN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
BiBi Chi

BiBi Chi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c >0 & & \\ a+b=c\leq 1& & \end{matrix}\right.$

tìm GTNN

$a, P=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}$

$b, \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{c}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

$c, \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c >0 & & \\ a+b=c\leq 1& & \end{matrix}\right.$

tìm GTNN

$a, P=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}$

$b, \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{c}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

$c, \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

Đề bài đáng ra phải là $ a+ b+ c\leq  1$

a) $ P=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}= \frac{1}{a^{2}}+ \frac{1}{b^{2}}+ \frac{1}{c^{2}}+ \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}+ \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}\geq  \frac{81}{\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ ab+ bc+ ca+ ab+ bc+ ca \right )}=  \frac{81}{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}\geq  81$

b) $ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}= \frac{1}{a^{2}+ b^{2}}+ \frac{1}{b^{2}+ c^{2}}+ \frac{1}{c^{2}+ a^{2}}+ \frac{1}{2ab}+ \frac{1}{2bc}+ \frac{1}{2ca}+ \frac{1}{2ab}+ \frac{1}{2bc}+ \frac{1}{2ca}\geq  \frac{81}{a^{2}+ b^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ c^{2}+ a^{2}+ 2ab+ 2bc+ 2ca+ 2ab+ 2bc+ 2ca}=  \frac{81}{2\left ( a+ b+ c \right )^{2}}\geq  \frac{81}{2}$

c) (Hơi khó một tí)

$\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}= \frac{1}{a^{2}+ bc}+ \frac{1}{b^{2}+ ca}+ \frac{1}{c^{2}+ ab}+ \frac{1}{2ab} +\frac{1}{2bc}+ \frac{1}{2ca}+ \frac{1}{2ab}+ \frac{1}{2bc}+ \frac{1}{2ca}\geq \frac{1}{a^{2}+ bc}+ \frac{1}{b^{2}+ ca}+ \frac{1}{c^{2}+ ab}+ \frac{1}{ab+ \frac{a^{2}+ b^{2}}{2}}+ \frac{1}{bc+ \frac{b^{2}+ c^{2}}{2}}+ \frac{1}{bc+ \frac{b^{2}+ c^{2}}{2}}+ \frac{1}{2ab}+ \frac{1}{2bc}+ \frac{1}{2ca}\geq \frac{81}{a^{2}+ bc+ b^{2}+ ca+ c^{2}+ ab+ ab+ \frac{a^{2}+ b^{2}}{2}+ bc+ \frac{b^{2}+ c^{2}}{2}+ ca+ \frac{c^{2}+ a^{2}}{2}+ 2ab+ 2bc+ 2ca}\geq \frac{81}{2\left ( a+ b+ c \right )^{2}}\geq \frac{81}{2}$



#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Xin lỗi chắc mình nhầm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-01-2018 - 09:08


#4
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c >0 & & \\ a+b=c\leq 1& & \end{matrix}\right.$

tìm GTNN

$a, P=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}$

 

Đề bài đáng ra phải là $ a+ b+ c\leq  1$

A nghĩ đề là $a+b=c \leq 1$ cũng hay (và khó hơn).

$a. P=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{2ab})+(\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc})+\frac{1}{c^2}$

$\geq \frac{(1+1+2)^2}{a^2+b^2+2ab}+\frac{8}{ac+bc}+\frac{1}{c^2}$

$=\frac{16}{(a+b)^2}+\frac{8}{c(a+b)}+\frac{1}{c^2}$

$=\frac{25}{c^2} \geq 25$ vì $c \leq 1$.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}, c=1$.



#5
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c >0 & & \\ a+b=c\leq 1& & \end{matrix}\right.$

tìm GTNN

$b, \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

$b, \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

$=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{(\frac{2}{5})^2}{2ab})+(\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+\frac{21}{50ab}$

$\geq \frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{(1+1+\frac{2}{5})^2}{a^2+b^2+2c^2+2ab}+\frac{4}{ac+bc}+\frac{42}{25(a+b)^2}$

$=\frac{4}{(a+b)^2}+\frac{144}{25[(a+b)^2+2c^2]}+\frac{4}{c(a+b)}+\frac{42}{25(a+b)^2}$

$=\frac{4}{c^2}+\frac{48}{25c^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{42}{25c^2}=\frac{38}{5c^2} \geq \frac{38}{5}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}, c=1$.



#6
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c >0 & & \\ a+b=c\leq 1& & \end{matrix}\right.$

tìm GTNN

$c, \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

$c, \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

$=(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{(\frac{2}{3})^2}{2ab})+(\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+\frac{7}{9ab}+\frac{1}{c^2+ab}$

$\geq \frac{(1+1+\frac{2}{3})^2}{a^2+bc+b^2+ac+2ab}+\frac{4}{ac+bc}+\frac{28}{9(a+b)^2}+\frac{4}{4c^2+(a+b)^2}$

$=\frac{64}{9[(a+b)^2+c(a+b)]}+\frac{4}{c(a+b)}+\frac{28}{9(a+b)^2}+\frac{4}{5c^2}$

$=\frac{32}{9c^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{28}{9c^2}+\frac{4}{5c^2}=\frac{172}{15c^2} \geq \frac{172}{15}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}, c=1$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh