Chủ đề này có 1 trả lời

[gagaga]

cho x,y,z>0: x+y+z=1. Tìm max, min:

A= $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{2}xyz$ (làm = kiến thức lớp 9 hộ em với ạ

[nmtuan2001]

cho x,y,z>0: x+y+z=1. Tìm max, min:

A= $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{2}xyz$ (làm = kiến thức lớp 9 hộ em với ạ

Ta sẽ chứng minh $2A=2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+9xyz \geq (x+y+z)^3$, hay 

$$x^3+y^3+z^3+3xyz \geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$

BĐT đúng theo BĐT Schur.

Do đó min $A=\frac{1}{2}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ (nếu $x,y,z \geq 0$: $x=y=\frac{1}{2}, z=0$ và các hoán vị).

 

Nếu muốn tìm max thì điều kiện phải là $x,y,z \geq 0$.

Ta sẽ chứng minh $2A=2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+9xyz \leq 2(x+y+z)^3$, hay 

$$2(x^3+y^3+z^3+xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x))+9xyz \leq 2(x^3+y^3+z^3)+6(xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x))+12xyz$$

$$0 \leq 4\sum xy(x+y)+3xyz$$

BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi $x=1, y=z=0$ và các hoán vị.