Đến nội dung

Hình ảnh

$f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị j

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

 Xét hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:

a) $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị j
b)$f(n+1)=f(n)-1$ với các trường hợp còn lại.
i)Chứng minh với mọi $n\geq0$ thì tồn tại số $k\geq0$ sao cho $f(n)+n=2^k-1$
ii)Tính $f(2^{1990})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-01-2018 - 15:15

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Giả sử hàm số $f$ thỏa mãn đề bài, gọi $S$ là tập hợp các số $a$ sao cho $a$ có dạng $2^b-1$ và $f(2^b-1)=0$
Nếu $S$ là tập hợp hữu hạn, gọi M là phần tử lớn nhất của S.
Khi đó $f(n+1)=f(n)-1\,\forall n\geq M+1$. Đặt $f(M+1)=t\Rightarrow f(M+2+t)=f(M+t+1)-1=...=f(M+1)-t-1=-1$, vô lý
Vậy $S$ là tập vô hạn.
Với mọi $n$, gọi $m$ là phần tử nhỏ nhất của $S$ sao cho $m\geq n$, khi đó $f(m)=0$.
Do $f(x+1)=f(x)-1\,\forall x \notin S$ nên $f(x)=f(x+1)+1\,\forall n\leqslant x\leqslant m$
$\Rightarrow f(n)=f(n+1)+1=f(n+2)+2=...=f(m)+m-n=m-n$
$\Rightarrow f(n)+n=m=2^l-1$ (do $m\in S$), ta có đpcm.
 Gọi $l$ là số nhỏ nhất thuộc $S$ và lớn hơn $2^{1990}$.Đặt $l=2^h-1$.
Cmtt, ta có: $f(2^{1990})-2^{1990}=2^h-1\Rightarrow f(2^{1990})=2^h+2^{1990}-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-01-2018 - 21:21

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh