Giả sử hàm số $f$ thỏa mãn đề bài, gọi $S$ là tập hợp các số $a$ sao cho $a$ có dạng $2^b-1$ và $f(2^b-1)=0$
Nếu $S$ là tập hợp hữu hạn, gọi M là phần tử lớn nhất của S.
Khi đó $f(n+1)=f(n)-1\,\forall n\geq M+1$. Đặt $f(M+1)=t\Rightarrow f(M+2+t)=f(M+t+1)-1=...=f(M+1)-t-1=-1$, vô lý
Vậy $S$ là tập vô hạn.
Với mọi $n$, gọi $m$ là phần tử nhỏ nhất của $S$ sao cho $m\geq n$, khi đó $f(m)=0$.
Do $f(x+1)=f(x)-1\,\forall x \notin S$ nên $f(x)=f(x+1)+1\,\forall n\leqslant x\leqslant m$
$\Rightarrow f(n)=f(n+1)+1=f(n+2)+2=...=f(m)+m-n=m-n$
$\Rightarrow f(n)+n=m=2^l-1$ (do $m\in S$), ta có đpcm.
Gọi $l$ là số nhỏ nhất thuộc $S$ và lớn hơn $2^{1990}$.Đặt $l=2^h-1$.
Cmtt, ta có: $f(2^{1990})-2^{1990}=2^h-1\Rightarrow f(2^{1990})=2^h+2^{1990}-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-01-2018 - 21:21