Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x+y) \geq f(x)+yf(f(x))$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

i) $f(0)>0$ ;

ii) $f(x+y) \geq f(x)+yf(f(x)), \forall x,y \in \mathbb{R}.$


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
Nếu $ f(f(x)) \le 0$ với mọi $ x$.Suy ra với mọi $ y\le 0$ ta có $ yf(f(x))\ge 0$ suy ra $ f(x + y)\ge f(x) + yf(f(x))$ với mọi $ x$.Do đó $ f(x)$ là hàm giảm.
Vì $ f(0) > 0 > f(f(x))$ nên $ 0 < f(x)$ với mọi $x$.Mâu thuẩn với $ f(f(x)) < 0$
Do đó tồn tại $ z$ sao cho $ f(f(z)) > 0$.
Từ bất đẳng thức trên, $ f(x +z)\ge f(z) + xf(f(x))\rightarrow lim_{x\to \infty} f(x) =+\infty$
Suy ra $ lim_{x\to \infty}f(f(x))=+ \infty$
Chọn $ x; y > 0$ thỏa $ f(x)\ge 0; f(f(x)) > 1; y\ge \frac {x +1}{f(f(x)) - 1}$ và $ f(f(x+y+ 1)) \ge 0$
Từ đó ta có $ f(x + y)\ge f(x) + yf(f(x))\ge x +y + 1$.
Ta lại có $ f(f(x + y))\ge f(x + y + 1) + [f(x + y)- x + y + 1)](f(f(x + y+ 1)) \ge f(x + y+ 1)\ge f(x +y) + f(f(x +y))\ge f(x) + yf(f(x)) + f(f(x+ y)) > f(f(x + y))$
Suy ra được điều mâu thuẫn.
Vậy không có hàm nào thỏa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 13-05-2021 - 11:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh