Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

Đề Thi VMO năm 2018


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 42 trả lời

#1 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1394 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 09-01-2018 - 17:42

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018

                                                                                                         

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC

                             Môn Toán 

                         Thời gian : 180 phút

                         

Ngày thi thứ nhất 11/01/2018

 

Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=2$ và $x_{n+1}=\sqrt{x_n+8}-\sqrt{x_n+3}$ với $n\geq 1$.

 

a)Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

b)Với mỗi số nguyên dương $n,$ chứng minh rằng : $n\leq x_1+x_2+...+x_n\leq n+1$

 

Bài 2 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ với $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Lấy điểm $E$ trên cạnh $AB$ và điểm $F$ trên cạnh $AC$ sao cho $\widehat{DEB}=\widehat{DFC}$. Các đường thẳng DF,DE lần lượt cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $(I_1),(I_2)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEM,DFN$. Kí hiệu $(J_1)$ là đường tiếp xúc trong với $(I_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AB$ tại $K$, $(J_2)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_2)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $H$, $P$ là giao điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$, $Q$ là giao điểm của $(J_1)$ và $(J_2)$ ($P,Q$ khác $D$)

 

a)Chứng minh $D,P,Q$ thẳng hàng.

 

b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHK$ và đường thẳng $AQ$ lần lượt tại $G$ và $L$ ($G,L$ khác $A$).Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DQG$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $DLG$.

 

Bài 3 (5,0 điểm). Mội nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật cùng kích thước $120m \times 100m$. 

 

a)Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây một ngôi nhà có nền hình chữ nhật có kích thước $25m \times 35m$ và xây bên ngoài $9$ bồn hoa hình tròn đường kính $5m$. Chứng minh rằng dù xây trước $9$ bồn hoa ở đâu thì trên phần đất còn lại vẫn đủ xây ngôi nhà đó.

 

b)Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây một hồ cá hình đa giác lồi sao cho từ một điểm bất kì trên phần đất còn lại có thể đi không quá $5m$ thì đến bờ hồ. Chứng minh rằng chu vi hồ không nhỏ hơn $(440-20\sqrt{2})m.$

 

Bài 4 (5,0 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2,x_3$.

 

a)Chứng minh rằng đại lượng $\sqrt[3]{\frac{x_1x_2}{x_3^2}}+\sqrt[3]{\frac{x_2x_3}{x_1^2}}+\sqrt[3]{\frac{x_3x_1}{x_2^2}}$ là một hằng số.

 

b)Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{\frac{x_1^2}{x_2x_3}}+\sqrt[3]{\frac{x_2^2}{x_3x_1}}+\sqrt[3]{\frac{x_3^2}{x_1x_2}}< -\frac{15}{4}$

 

Ngày thi thứ hai 12/01/2018

 

Bài 5 (6,0 điểm). Cho các số nguyên dương $n$ và $d$. Xét tập hợp $S_{n}(d)$ gồm tất cả các bộ số có thứ tự $(x_1;...;x_d)$ thỏa mãn điều kiện sau:

 

(i) $x_{i}\in{1;2;...;n}$ với mọi chỉ số $1\leq i\leq d$

 

(ii)$x_{i}\neq x_{i+1}$ với mọi chỉ số $1\leq i\leq d-1$

 
(iii) Không tồn tại các chỉ số $1\leq i< j< k< l\leq d$ sao cho $x_i=x_k$ và $x_j=x_l$
 
a)Tính số phần cảu tập hợp $S_{3}(5)$ 
 
b)Chứng minh rằng tập hợp $S_{n}(d)$ khác rỗng khi và chỉ khi $d\leq 2n-1$
 
Bài 6 (7,0 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right )$
 
a)Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ
 
b)Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$
 
Bài 7 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trọng tâm $G$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H_a,H_b,H_c$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$ và $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$. Các tia $GH_a,GH_b,GH_c$  lần lượt cắt $(O)$ tại các điểm $X,Y,Z$
 
a)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XCE$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BH$
 
b)Gọi $M,N,P$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $AX,BY,CZ$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DM,EN,FP$ đồng quy.
 
HẾT 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 12-01-2018 - 12:41


#2 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1394 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 11-01-2018 - 11:18

26219513_199181693978728_6186766909943190057_n.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 11-01-2018 - 11:19


#3 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 11-01-2018 - 13:21

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018

                                                                                                         

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC

                             Môn Toán 

                         Thời gian : 180 phút

                         Ngày thi thứ nhất 11/01/2018

 

 

 

Bài 4 (5,0 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2,x_3$.

 

a)Chứng minh rằng đại lượng $\sqrt[3]{\frac{x_1x_2}{x_3^2}}+\sqrt[3]{\frac{x_2x_3}{x_1^2}}+\sqrt[3]{\frac{x_3x_1}{x_2^2}}$ là một hằng số.

 

b)Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{\frac{x_1^2}{x_2x_3}}+\sqrt[3]{\frac{x_2^2}{x_3x_1}}+\sqrt[3]{\frac{x_3^2}{x_1x_2}}< -\frac{15}{4}$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------HẾT----------------------------------------------------------------------------------------------

 

Một hướng tiếp cận bài 4.

Hình gửi kèm

  • 001.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 11-01-2018 - 15:33


#4 taconghoang

taconghoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 11-01-2018 - 13:29

https://nguyenvanlin...3-vmo-2018.pdf 

Lời giải câu hình của thầy Nguyễn Văn Linh ạ 



#5 LePhuoc87

LePhuoc87

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 11-01-2018 - 13:59

 https://www.facebook...&type=3



#6 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 11-01-2018 - 14:12

Một hướng tiếp cận bài 1.

Hình gửi kèm

  • 003.jpg


#7 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 11-01-2018 - 14:54

Câu hình a có thể làm như sau:

Hình gửi kèm

  • 103.gif


#8 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 11-01-2018 - 15:33

Bản chất và một hướng giải câu b:

 

Hình gửi kèm

  • 108.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 11-01-2018 - 16:24


#9 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-01-2018 - 17:09

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018

                                                                                                         

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC

                             Môn Toán 

                         Thời gian : 180 phút

                         Ngày thi thứ nhất 11/01/2018

 

Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=2$ và $x_{n+1}=\sqrt{x_n+8}-\sqrt{x_n+3}$ với $n\geq 1$.

 

a)Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

b)Với mỗi số nguyên dương $n,$ chứng minh rằng : $n\leq x_1+x_2+...+x_n\leq n+1$

 

Bài 2 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ với $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Lấy điểm $E$ trên cạnh $AB$ và điểm $F$ trên cạnh $AC$ sao cho $\widehat{DEB}=\widehat{DFC}$. Các đường thẳng DF,DE lần lượt cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $(I_1),(I_2)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEM,DFN$. Kí hiệu $(J_1)$ là đường tiếp xúc trong với $(I_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AB$ tại $K$, $(J_2)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_2)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $H$, $P$ là giao điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$, $Q$ là giao điểm của $(J_1)$ và $(J_2)$ ($P,Q$ khác $D$)

 

a)Chứng minh $D,P,Q$ thẳng hàng.

 

b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHK$ và đường thẳng $AQ$ lần lượt tại $G$ và $L$ ($G,L$ khác $A$).Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DQG$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $DLG$.

 

Bài 3 (5,0 điểm). Mội nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật cùng kích thước $120m \times 100m$. 

 

a)Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây một ngôi nhà có nền hình chữ nhật có kích thước $25m \times 35m$ và xây bên ngoài $9$ bồn hoa hình tròn đường kính $5m$. Chứng minh rằng dù xây trước $9$ bồn hoa ở đâu thì trên phần đất còn lại vẫn đủ xây ngôi nhà đó.

 

b)Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây một hồ cá hình đa giác lồi sao cho từ một điểm bất kì trên phần đất còn lại có thể đi không quá $5m$ thì đến bờ hồ. Chứng minh rằng chu vi hồ không nhỏ hơn $(440-20\sqrt{2})m.$

 

Bài 4 (5,0 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2,x_3$.

 

a)Chứng minh rằng đại lượng $\sqrt[3]{\frac{x_1x_2}{x_3^2}}+\sqrt[3]{\frac{x_2x_3}{x_1^2}}+\sqrt[3]{\frac{x_3x_1}{x_2^2}}$ là một hằng số.

 

b)Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{\frac{x_1^2}{x_2x_3}}+\sqrt[3]{\frac{x_2^2}{x_3x_1}}+\sqrt[3]{\frac{x_3^2}{x_1x_2}}< -\frac{15}{4}$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------HẾT----------------------------------------------------------------------------------------------

Một hướng khác cho câu[1]. Cho $x_n$ thỏa mãn $\begin{cases}x_1=2\\x_{n+1}=\sqrt{n+8}-\sqrt{n+3}\end{cases}$

Hình gửi kèm

  • DS_13.JPG
  • DS_14.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#10 supernatural1

supernatural1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 278 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:Modern talking

Đã gửi 11-01-2018 - 18:41

chán quá mình làm có được bài 1, ý a bài hình với ý a bài 4, không biết đề ngày hai như nào đây



#11 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 11-01-2018 - 21:04

Câu 4a khá đơn giản. Ta chia mảnh đất thành $10$ hình chữ nhật kích thước $30\times 40$. Khi đó sẽ tồn tại một hình chữ nhật không tâm bồn hoa nào ở phần trong (không kể cạnh của nó). Khi đó phần trung tâm $25\times 35$ của hình chữ nhật này không cắt bồn hoa nào.



#12 namkhanh123

namkhanh123

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 11-01-2018 - 21:51

Câu 4a khá đơn giản. Ta chia mảnh đất thành $10$ hình chữ nhật kích thước $30\times 40$. Khi đó sẽ tồn tại một hình chữ nhật không tâm bồn hoa nào ở phần trong (không kể cạnh của nó). Khi đó phần trung tâm $25\times 35$ của hình chữ nhật này không cắt bồn hoa nào.

chia thành 10 hình kiểu gì



#13 ngando2002

ngando2002

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 11-01-2018 - 22:35

câu 3b em tính được chu vi của hình đa giác lồi $\geqslant 20\sqrt{82} +20\sqrt{2} + 20\sqrt{122} > 440 -20\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngando2002: 11-01-2018 - 22:36


#14 phong than

phong than

    Đại Sư

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-01-2018 - 22:50

Vậy chắc bạn làm sai rồi đó :)



#15 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1713 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 12-01-2018 - 00:30

Một hướng tiếp cận bài 1.

Con số 1.01 như lời giải này được tìm ra (phát hiện ra đánh giá) như thế nào khi chúng ta không dùng máy tính nhỉ?


Đời người là một hành trình...


#16 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 12-01-2018 - 00:48

Con số 1.01 như lời giải này được tìm ra (phát hiện ra đánh giá) như thế nào khi chúng ta không dùng máy tính nhỉ?

Có thể khắc phục bằng cách dùng $x_n<x_3$ thì để có đpcm cần $x_3<\frac{3-t}{2}$ với $x_3=\sqrt{t+8}-\sqrt{t+3}.$

Chú ý $0<t=\sqrt{10}-\sqrt{5}<1$ nên biến đổi điều trên được $(1-t)\left(1+\frac{2}{\sqrt{t+8}+3}-\frac{2}{\sqrt{t+3}+2}\right)>0,$ đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 12-01-2018 - 00:50


#17 manht1k23

manht1k23

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 12-01-2018 - 01:59

Untitled.jpg

 

 

bài 3a chỉ thế này thôi nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manht1k23: 12-01-2018 - 02:00


#18 manht1k23

manht1k23

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 12-01-2018 - 02:10

bài 3b

 

DSC_0001-compressed.jpg

DSC_0002-compressed.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manht1k23: 12-01-2018 - 02:11


#19 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1713 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 12-01-2018 - 08:40

Có thể khắc phục bằng cách dùng $x_n<x_3$ thì để có đpcm cần $x_3<\frac{3-t}{2}$ với $x_3=\sqrt{t+8}-\sqrt{t+3}.$

Chú ý $0<t=\sqrt{10}-\sqrt{5}<1$ nên biến đổi điều trên được $(1-t)\left(1+\frac{2}{\sqrt{t+8}+3}-\frac{2}{\sqrt{t+3}+2}\right)>0,$ đúng.

Em cảm ơn!

Em cũng làm công phu như vậy để chỉ ra $x_2+x_3<2$. Vì thế, $x_{2n}+x_{2n+1}<2.$


Đời người là một hành trình...


#20 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1713 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 12-01-2018 - 08:52

Một hướng khác cho câu[1]. Cho $x_n$ thỏa mãn $\begin{cases}x_1=2\\x_{n+1}=\sqrt{n+8}-\sqrt{n+3}\end{cases}$

 

Không biết Cauchy kiểu gì để có $\sqrt{x_k+3}\ge \frac{x_k+3}{2}$ (điều này không đúng vì điều đó tương đương với $x_k\le 1$.)


Đời người là một hành trình...





4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh