Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn

- - - - - dãy số giới hạn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $u_{0}>0,u_{1}>0$ và $u_{n+2}=\frac{2}{u_{n+1}+u_{n}}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó 


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"


#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $u_{0}>0,u_{1}>0$ và $u_{n+2}=\frac{2}{u_{n+1}+u_{n}}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó 

Dễ thấy $u_{n+2}\le \frac{1}{2} u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n},n\in \mathbb{N}.$

Do đó, dãy  $\{u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ.

 

Đặt $b_n= u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n}$ và $b$ là giới hạn của dãy $\{b_n\}.$

 

Đặt $v_n=|u_n- \frac{b}{3}|, c_n=|b_n-b|,n\in \mathbb{N}.$

Suy ra $v_{n+1}\le \frac{1}{2} v_n+ c_n, n\in \mathbb{N}.$

 

Bổ đề giới hạn

 

Cho hai dãy số dương $ (a_{n}), (b_{n}) $ và số q thuộc [0;1) sao cho $ a_{n+1} \leq q.a_{n}+b_{n} $ với mọi số tự nhiên n. Khi đó nếu $ lim(b_{n})=0 $ thì $ lim(a_{n})=0 $.

Chứng minh xem tại  https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/

 

 

Từ bổ đề, chúng ta có dãy $\{v_{n}\}$ hội tụ về 0 và $\{u_n\}$ hội tụ. Từ hệ thức truy hồi, ta dễ dàng chỉ ra dãy $\{u_n\}$ hội tụ về 1.

 

P.S: Bài toán này đã tứng xuất hiện trong topic những bài toán dãy trên mathlink.ro nhưng lời giải khá phức tạp (không dùng Bổ đề giới hạn).


Đời người là một hành trình...


#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Loạt bài toán cùng ý tưởng

https://diendantoanh...-0/#entry699804

 

 

https://diendantoanh...46-tìm-lim-u-n/

 

 

https://diendantoanh...092010sqrt4u-n/

 

https://diendantoanh...132014sqrt4u-n/

 

Hầu hết các bài toán này, người ta sử dụng kỹ thuật dãy phụ (dãy min-max) để giải.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 10-01-2018 - 07:22

Đời người là một hành trình...


#4
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Dễ thấy $u_{n+2}\le \frac{1}{2} u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n},n\in \mathbb{N}.$

Do đó, dãy  $\{u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ.

 

Thât tiếc bất đẳng thức đầu tiên đã sai :(


Đời người là một hành trình...






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, giới hạn

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh