Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn

dãy số giới hạn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bờ bên kia...
  • Sở thích:Toán học, Vật Lí, Phim, Âm Nhạc, Bóng đá...

Đã gửi 09-01-2018 - 22:48

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $u_{0}>0,u_{1}>0$ và $u_{n+2}=\frac{2}{u_{n+1}+u_{n}}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó 


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"


#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 10-01-2018 - 07:02

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $u_{0}>0,u_{1}>0$ và $u_{n+2}=\frac{2}{u_{n+1}+u_{n}}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó 

Dễ thấy $u_{n+2}\le \frac{1}{2} u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n},n\in \mathbb{N}.$

Do đó, dãy  $\{u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ.

 

Đặt $b_n= u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n}$ và $b$ là giới hạn của dãy $\{b_n\}.$

 

Đặt $v_n=|u_n- \frac{b}{3}|, c_n=|b_n-b|,n\in \mathbb{N}.$

Suy ra $v_{n+1}\le \frac{1}{2} v_n+ c_n, n\in \mathbb{N}.$

 

Bổ đề giới hạn

 

Cho hai dãy số dương $ (a_{n}), (b_{n}) $ và số q thuộc [0;1) sao cho $ a_{n+1} \leq q.a_{n}+b_{n} $ với mọi số tự nhiên n. Khi đó nếu $ lim(b_{n})=0 $ thì $ lim(a_{n})=0 $.

Chứng minh xem tại  https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/

 

 

Từ bổ đề, chúng ta có dãy $\{v_{n}\}$ hội tụ về 0 và $\{u_n\}$ hội tụ. Từ hệ thức truy hồi, ta dễ dàng chỉ ra dãy $\{u_n\}$ hội tụ về 1.

 

P.S: Bài toán này đã tứng xuất hiện trong topic những bài toán dãy trên mathlink.ro nhưng lời giải khá phức tạp (không dùng Bổ đề giới hạn).


Đời người là một hành trình...


#3 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 10-01-2018 - 07:04

Loạt bài toán cùng ý tưởng

https://diendantoanh...-0/#entry699804

 

 

https://diendantoanh...46-tìm-lim-u-n/

 

 

https://diendantoanh...092010sqrt4u-n/

 

https://diendantoanh...132014sqrt4u-n/

 

Hầu hết các bài toán này, người ta sử dụng kỹ thuật dãy phụ (dãy min-max) để giải.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 10-01-2018 - 07:22

Đời người là một hành trình...


#4 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 11-01-2018 - 16:29

Dễ thấy $u_{n+2}\le \frac{1}{2} u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n},n\in \mathbb{N}.$

Do đó, dãy  $\{u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ.

 

Thât tiếc bất đẳng thức đầu tiên đã sai :(


Đời người là một hành trình...






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, giới hạn

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh