Chủ đề này có 4 trả lời

[ThuyHang175]

Cho a, b, c> 0 thỏa mãn: a+ b+ c= 3. Tìm Min:

A= $\frac{a^3}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^3}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^3}{c^2+(a+b)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuyHang175: 09-01-2018 - 23:59

[nmtuan2001]

Cho a, b, c> 0 thỏa mãn: a+ b+ c= 3. Tìm Min:

A= $\frac{a^3}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^3}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^3}{c^2+(a+b)^2}$

$$A= \frac{a^3}{a^2+(3-a)^2}+\frac{b^3}{b^2+(3-b)^2}+\frac{c^3}{c^2+(3-c)^2}$$

Xét $f(x)=\frac{x^3}{x^2+(3-x)^2}=\frac{x^3}{2x^2-6x+9}$.

$$f'(x)=\frac{3x^2.(2x^2-6x+9)-(4x-6).x^3}{(2x^2-6x+9)^2}=\frac{x^2.(2x^2-12x+27)}{(2x^2-6x+9)^2}$$

Khi $x=1$, $f'(x)=\frac{17}{25}$ và $f(a)=\frac{1}{5}$.

Suy ra đường tiếp tuyến của $y=f(x)$ là $y=\frac{17a-12}{25}$.

Ta sẽ chứng minh $f(x) \geq \frac{17a-12}{25}$ với $0<x<3$, hay

$$25x^3-(17x-12)(2x^2-6x+9) \geq 0$$

$$-9x^3+126x^2-225x+108 \geq 0$$

$$9(x-1)^2(12-x) \geq 0$$

BĐT hiển nhiên đúng.

 

Do đó $A \geq \frac{17a-12+17b-12+17c-12}{25}=\frac{3}{5}$ vì $a+b+c=3$.

Vậy min $A=\frac{3}{5}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

[DOTOANNANG]

Cách khác như sau:

Xét:

$f\left ( a \right )= \frac{a^{3}}{a^{2}+ \left ( 3- a \right )^{2}}\geq \frac{17}{25}a- \frac{12}{25}$ với: $0\leq a\leq 1$

(sử dụng tính đồng biến của đâọ hàm)

Tương tự:

 

$f\left ( b \right )= \frac{b^{3}}{b^{2}+ \left ( 3- b \right )^{2}}\geq \frac{17}{25}b- \frac{12}{25}$ với: $0\leq b\leq 1$

$f\left ( c \right )= \frac{c^{3}}{c^{2}+ \left ( 3- c \right )^{2}}\geq \frac{17}{25}c- \frac{12}{25}$ với: $0\leq c\leq 1$

$\Rightarrow A\geq \frac{17}{25}\left ( a+ b+ c \right )- \frac{36}{25}= \frac{3}{5}$

Dấu bằng xảy ra khi $a= b= c= 1$

[DOTOANNANG]

Cách giải của mình có gì đó không ổn. Mong các bạn đóng góp ý kiến để mình hoàn thiện bài giải.

[nmtuan2001]

Cho a, b, c> 0 thỏa mãn: a+ b+ c= 3. Tìm Min:

A= $\frac{a^3}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^3}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^3}{c^2+(a+b)^2}$

Cách khác:

$$A=\sum \frac{a^4}{a^3+a(b+c)^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (a^3+ab^2+2abc+ac^2)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^3+\sum ab(a+b)+6abc}$$

Cần chứng minh $5(a^2+b^2+c^2)^2 \geq (a+b+c)(\sum a^3+\sum ab(a+b)+6abc)$, hay

$$4\sum a^4+8\sum a^2b^2 \geq 8abc(a+b+c)+2\sum ab(a^2+b^2)$$

BĐT đúng vì $\sum a^2b^2 \geq abc(a+b+c)$ và $\sum (a^4+b^4) \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \geq ab(a^2+b^2)$.