Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Xét hàm số $f(x)$ xác định và nhận các giá trị trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn:

$(i)f(1)=1$

$(ii)f(2n+1)=f(2n)+1$

$(iii)f(2n)=3f(n)$

Xác định tập giá trị của $f(x)$.

[namcpnh]

Ta tính thử vài giá trị đầu:

$f(1)=1=1_3,\,f(2)=3f(1)=3=10_3,\,f(3)=f(2)+1=4=11_3,

f(4)=3f(2)=9=100_3,\, f(5)=f(4)+1=10=101_3$

Lại thấy: $1=1_2,\,2=10_2,\,3=11_2,\,4=100_2,\,5=101_2$

Do đó ta sẽ chứng minh mệnh đề sau: $f(n)=\overline{a_1a_2...a_k}_3$ với $n=\overline{a_1a_2...a_k}_2$ (1)

Thật vậy, với $n=1,\,2$ thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng $\forall n\leqslant m$, ta cần chứng minh (1) đúng với $n=m+1$.

Thật vậy, nếu $m+1$ chẵn, khi đó đặt $\frac{m+1}{2}=\overline{b_1b_2..b_l}_2\Rightarrow m+1=\overline{b_1b_2...b_l0}_2$

$\Rightarrow f(m+1)=3f(\frac{m+1}{2})=3.\overline{b_1b_2...b_l}_3=\overline{b_1b_2...b_l0}_3$

Nếu $m+1$ lẻ. Đặt $\frac{m}{2}=\overline{b_1b_2..b_l}_2\Rightarrow m=\overline{b_1b_2...b_l0}_2\Rightarrow m+1=\overline{b_1b_2...b_l1}$.

Khi đó $f(m+1)=3f(\frac{m}{2})+1=3.\overline{b_1b_2...b_l}_3+1=\overline{b_1b_2...b_l1}_3$

Vậy ta có đpcm, do đó tập các giá trị của $f$ là $S=\{\sum 3^i\}$