Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenhuonggiang]

Cho $x,y \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=4$. Tìm GTLN và GTNN của $P=x^{5}+y^{5}$

[nmtuan2001]

Cho $x,y \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=4$. Tìm GTLN và GTNN của $P=x^{5}+y^{5}$

Ta sẽ chứng minh $(x^5+y^5)^2 \leq (x^2+y^2)^5$, hay

$$2x^5y^5 \leq 5x^2y^2(x^6+y^6)+10x^4y^4(x^2+y^2)$$

BĐT hiển nhiên đúng vì $VP \geq 10x^4y^4(x^2+y^2) \geq x^4y^4(x^2+y^2) \geq 2x^5y^5$.

Do đó $(x^5+y^5)^2 \leq 1024$, hay $-32 \leq x^5+y^5 \leq 32$.

Dấu $=$ xảy ra cho GTNN khi $x=0, y=-2$ và ngược lại, cho GTLN khi $x=0, y=2$ và ngược lại