Chủ đề này có 3 trả lời

[Noob1303]

1/ Cho 3 số a, b, c thỏa  $1\leq a,b,c \leq 3$ và a+b+c = 6. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 14$

2/ Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa điều kiện $\frac{x^{2}-1}{y+1}+\frac{y^{2}-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2}y^{2}-1$ chia hết cho x + 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Noob1303: 11-01-2018 - 12:20

[HelpMeImDying]

1/ Vì $1\leq a,b,c\leq 3$. Cho nên

$(a-1)(b-1)(c-1)+(3-a)(3-b)(3-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2ab+2bc+2ca+26-8(a+b+c)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2ab+2bc+2ca\geq 22$

$\Rightarrow (a+b+c)^{2}-2ab-2bc-2ca\leq 36-22=14$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 14$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=1,b=2,c=3$ và các hoán vị 

[Tea Coffee]

2/ Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa điều kiện $\frac{x^{2}-1}{y+1}+\frac{y^{2}-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2}y^{2}-1$ chia hết cho x + 1

Gọi $d=(y+1,x+1),d\epsilon N*$

$=> x+1=d.x_{1},y+1=d.y_{1}(x_{1},y_{1})=1$

Ta có: $P=\frac{x^{2}-1}{y+1}+\frac{y^{2}-1}{x+1}=\frac{(x-1)d.x_{1}}{d.y_{1}}+\frac{(y-1)d.y_{1}}{d.x_{1}}=\frac{(x-1)x_{1}}{y_{1}}+\frac{(y-1)y_{1}}{x_{1}}=\frac{(x-1)x_{1}^{2}+(y-1)y_{1}^{2}}{x_{1}y_{1}}\epsilon Z$

=> $\left\{\begin{matrix}(y-1)y_{1}^{2}+(x-1)x_{1}^{2}\vdots x_{1} \\ (x-1)x_{1}^{2}+(y-1)y_{1}^{2}\vdots y_{1} \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}(y-1)y_{1}^{2}\vdots x_{1} \\ (x-1)x_{1}^{2}\vdots y_{1} \end{matrix}\right. => y-1\vdots x_{1}$ do $(x_{1},y_{1})=1$

Từ đó: $x^{2}y^{2}-1=y^{2}(x^{2}-1)+y^{2}-1$

$y^{}-1=(y-1)(y+1)=(y-1)d.y_{1};y-1\vdots x_{1}=>(y-1)dy_{1}\vdots d.x_{1}=x+1=>...$

[DOTOANNANG]

Đặt $a= x+ 1, b= y+ 1, c= z+ 1$. Khi đó $x, y, z \epsilon \left [ 0, 2 \right ], x+ y+ z= 3$.Giả sử $x= max\left \{ x, y, z \right \}$

Suy ra $x+ y+ z= 3\leq 3x\Rightarrow 1\leq x\leq 2\Rightarrow \left ( x- 1 \right )\left ( x- 2 \right )\leq 0\Rightarrow x^{2}+ y^{2}+ z^{2}\leq x^{2}+ \left ( y+ z \right )^{2}= x^{2}+ \left ( 3- x \right )^{2}= 5+ 2\left ( x- 1 \right )\left ( x- 2 \right )\leq 5$

Ta có:

$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= \left ( x+ 1 \right )^{2}+ \left ( y+ 1 \right )^{2}+ \left ( z+ 1 \right )^{2}= x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ 2\left ( z+ y+ x \right )+ 3\leq 14$