Chủ đề này có 14 trả lời

[buingoctu]

1, Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:

A=$\sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})}}$

2, Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = $\sqrt[4]{abcd}$ Chứng minh rằng:

B=$\frac{a+d^{2}}{b}+\frac{c+a^{2}}{d}+\frac{b+c^{2}}{a}+\frac{d+b^{2}}{c}\geq 4(1+E)$

3, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

C=$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

4, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng

$5(x+y+z)+18\geq 8(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})$

5, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3(a + b + c) ≥ ab + bc + ca + 2.Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}+bc}{2}+\frac{b^{3}+ca}{3}+\frac{c^{3}+ab}{5}\geq \frac{\sqrt{abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}}{3}$

6, Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

$abc+bcd+dac+dab\leq \frac{1+176abcd}{27}$.

7,Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b+c }}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c+a}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

8, Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức

$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

9, Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng

$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}}\geq \sqrt[32]{xyz}$

10, Cho a,b thực dương sao cho a+b=ab. Chứng minh 

P=$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq \frac{21}{4}$

11,Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

$\sqrt{b+c}(\sqrt{a+c}+\sqrt{a+b})\geq \frac{b+c}{2}+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$
12, Cho a, b, c $\geq$ 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

$\frac{1+ab^{2}}{c^{3}}+\frac{1+bc^{2}}{a^{3}}+\frac{1+ca^{2}}{b^{3}}\geq \frac{18}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

13, Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6. Chứng minh

rằng

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abcd\geq 6$

14, Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng

$9(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)\leq 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}$

15, Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng

$ba^{2}+cb^{2}+ac^{2}\leq \frac{4}{27}$

16, Cho a,b,c thực dương 

a, $\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+2ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 3$

b,$3(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc})\leq (8+\frac{2\sqrt{ab}}{a+b})(a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3})$

< ấn nát cả tay, đau hết cả mắt, mong anh em like và tích cựa trả lời cho mình, yêu anh em diễn đàn nhiều>

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 12-01-2018 - 11:48

[Khoa Linh]

 

2, Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = $\sqrt[4]{abcd}$ Chứng minh rằng:

B=$\frac{a+d^{2}}{b}+\frac{c+a^{2}}{d}+\frac{b+c^{2}}{a}+\frac{d+b^{2}}{c}\geq 4(1+E)$

 

a/b+b/a+c/d+d/c>=4 
Cachy schwars ta có:

d^2/b+a^2/d+c^2/a+b^2/c>=a+b+c>=4E
cộng vào ta có ĐPCM

[DOTOANNANG]

1, Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:

A=$\sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})}}$

 

Sử dụng bất đẳng thức Cacuchy- Schwarz, ta có:

$\left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{1}{a} \right )= \sqrt{\left ( \sum a^{2}+ 2\sum bc \right )\left ( \sum \frac{1}{a^{2}}+ 2\sum \frac{1}{bc} \right )}\geq \sqrt{\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{a^{2}} \right )}+ 2\sqrt{\left ( \sum bc \right )\left ( \sum \frac{1}{bc} \right )}= \sqrt{\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{a^{2}} \right )}+ 2\sqrt{\left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{1}{a} \right )}$

Từ đó, ta có:

$\left ( \sqrt{\left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{1}{a} \right )}- 1 \right )^{2}\geq 1+ \sqrt{\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{a^{2}} \right )}$

Đẳng thức xảy ra khi:

$\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{bc} \right )= \left ( \sum \frac{1}{a^{2}} \right )\left ( \sum bc \right )$

Hay:

$\left ( a^{2}- bc \right )\left ( b^{2}- ca \right )\left ( c^{2}- ab \right )= 0$

hay

$a^{2}= bc, b^{2}= ca, c^{2}= ab$

[nmtuan2001]

3, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

C=$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

BĐT tương đương với

$$x^2+y^2+z^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) \geq (x+y+z)^2=9$$

BĐT đúng theo AM-GM: $\sum (x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}) \geq 3\sum \sqrt[3]{x^2.\sqrt{x}.\sqrt{x}}=3(x+y+z)=9$

 

11,Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

$\sqrt{b+c}(\sqrt{a+c}+\sqrt{a+b})\geq \frac{b+c}{2}+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$

$$VT=\sqrt{(b+c)(a+c)}+\sqrt{(c+b)(a+b)} \geq \sqrt{ab}+c+\sqrt{ca}+b=b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$$

$VP$ chắc là nhầm rồi

[nmtuan2001]

12, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

$\frac{1+ab^{2}}{c^{3}}+\frac{1+bc^{2}}{a^{3}}+\frac{1+ca^{2}}{b^{3}}\geq \frac{18}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

15, Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng

$ba^{2}+ca^{2}+ac^{2}\leq \frac{4}{27}$

12. $VT=\sum \frac{1}{a^3}+\sum \frac{ab^2}{c^3} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}+3\sqrt[3]{\frac{ab^2.bc^2.ca^2}{a^3b^3c^3}}=6$, mà $VP \leq \frac{18}{3abc}=6$

Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

 

15. Đề chắc phải là $ba^2+cb^2+ac^2 \leq \frac{4}{27}$

Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$, suy ra $(b-a)(b-c) \leq 0$, hay $b^2+ac \leq ab+bc$.

Do đó $b^2c+c^2a \leq abc+bc^2$

Suy ra $a^2b+b^2c+c^2a \leq a^2b+abc+bc^2=b(a^2+c^2+ca)<b(c+a)^2=4b.\frac{c+a}{2}.\frac{c+a}{2} \leq 4(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3})^3=\frac{4(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{27}$.

Dấu $=$ chỉ xảy ra nếu $a=0, b=\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ và các hoán vị nên $a,b,c \geq 0$ mới có dấu $=$.

[buingoctu]

a/b+b/a+c/d+d/c>=4 
Cachy schwars ta có:

d^2/b+a^2/d+c^2/a+b^2/c>=a+b+c>=4E
cộng vào ta có ĐPCM

trìn bày lại cho rõ thui, chứ bạn làm đúng rùi:

Có $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\geq 4(cosi)$ *

Lại có:$(\frac{d^{2}}{b}+b)+(\frac{a^{2}}{d}+d)+(\frac{c^{2}}{a}+a)+(\frac{b^{2}}{c}+c)\geq 2(d+a+c+b)$

=>$\frac{d^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{d}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{b^{2}}{c}\geq a+b+c+d\geq4 \sqrt[4]{abcd}=4E$ **

Cộng vế với của * và ** => điều phải CM.

[HelpMeImDying]

10, Cho a,b thực dương sao cho a+b=ab. Chứng minh 

P=$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq \frac{21}{4}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}\geq \frac{4}{a^{2}+2a+b^{2}+2b}=\frac{4}{(a+b)^{2}}$

$\sqrt{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}\geq ab+1=a+b+1$

Lại có, theo AM-GM:$a+b=ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}\Rightarrow a+b\geq 4$

$P\geq \frac{4}{(a+b)^{2}}+a+b+1=\frac{4}{(a+b)^{2}}+\frac{a+b}{16}+\frac{a+b}{16}+\frac{7(a+b)}{8}+1\geq \frac{3}{4}+\frac{7}{2}+1=\frac{21}{4}$

$a+b= ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}\Rightarrow a+b\geq 4$

 

 

 

[nmtuan2001]

8, Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức

$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

VP chắc là căn bậc 3 thì BĐT mới đồng bậc.

Chia cả 2 vế cho $abc$:

$$\sqrt{(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})} \geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a^2}{bc}+1)(\frac{b^2}{ca}+1)(\frac{c^2}{ab}+1)}$$

Đặt $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$. BĐT trở thành

$$\sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})} \geq 1+\sqrt[3]{(\frac{x}{y}+1)(\frac{y}{z}+1)(\frac{z}{x}+1)}$$

Mà $(\frac{x}{y}+1)(\frac{y}{z}+1)(\frac{z}{x}+1)+1=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}+1=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)+xyz}{xyz}=\frac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{xyz}=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$.

Đặt $\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}=k$. BĐT trở thành

$$\sqrt{k+1} \geq 1+\sqrt[3]{k}$$

$$(\sqrt{k+1}-1)^3 \geq k$$

$$(k+1)\sqrt{k+1}-3(k+1)+3\sqrt{k+1}-1 \geq k$$

$$(k+4)\sqrt{k+1} \geq 4k+4$$

$$(k+4)^2 \geq 16(k+1)$$

$$k(k-8) \geq 0$$

BĐT hiển nhiên đúng vì $k \geq 8$.

[nmtuan2001]

1, Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:
14, Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng
$9(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)\leq 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}$

Đặt $x=a^2+b^2+c^2, y=ab+bc+ca$.
Ta có $VT \leq 9(\frac{a^2+bc+b^2+ca+c^2+ab}{3})^3=\frac{(x+y)^3}{3}$
Vì $3(a^3+b^3+c^3)=a^3+b^3+c^3+\sum (a+b)(a^2-ab+b^2) \geq a^3+b^3+c^3+\sum ab(a+b)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$,
$$VP \geq \frac{8}{9}(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)^2=\frac{8}{9}(x+2y)x^2$$
Cần chứng minh $3(x+y)^3 \leq 8x^2(x+2y)$, hay
$$3y^3+9xy^2 \leq 5x^3+7x^2y$$
$$(x-y)(5x^2+12xy+3y^2) \geq 0$$
BĐT đúng vì $x \geq y$.

[DOTOANNANG]

 

3, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

C=$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

 

BĐT đã cho tương đương với:

$2\left ( \sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z} \right )\geq 2\left ( xy+ yz+ zx \right )\Leftrightarrow x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ 2\left ( \sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z} \right )\geq \left ( x+ y+ z \right )^{2}= 9$

Vậy ta cần chứng minh:

$x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ 2\left ( \sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z} \right )\geq 9$

Ta sử dụng AM- Gm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+ \sqrt{x}+ \sqrt{x} & \geq & 3x \\ y^{2}+ \sqrt{y}+ \sqrt{y} & \geq & 3y \\ z^{2}+ \sqrt{z}+ \sqrt{z} & \geq & 3z \end{matrix}\right.$

[DOTOANNANG]

15, Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng

$ba^{2}+cb^{2}+ac^{2}\leq \frac{4}{27}$

Bài này còn cách khác:

K mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có:

$c\left ( b- a \right )\left ( b- c \right )\leq 0\Rightarrow b^{2}c+ c^{2}a\leq abc+ bc^{2}\Rightarrow a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a\leq abc+ a^{2}b+ b^{2}c= b\left ( a^{2}+ c^{2}+ ac \right )\leq b\left ( a+ c \right )^{2}= b\left ( 1- b \right )^{2}= \frac{1}{2}. 2b\left ( 1- b \right )\left ( 1- b \right )\leq \frac{1}{2}. \frac{\left ( 2b+ 1- b+ 1- b \right )^{3}}{27}= \frac{4}{27}$

Đẳng thức xảy ra: $c= 0, a= b= 0, 5$ và các hoán vị của nó

[DOTOANNANG]

Khỏi cần cảm ơn nhớ like là được

[buingoctu]

Khỏi cần cảm ơn nhớ like là

Vãi

Còn viết thêm câu nữa để câu like mới kinh chứ, lạy.

 

đùa thui chứ vẫn phải cảm ơn, cảm ơn anh nhiều ạ.  

[DOTOANNANG]

Vãi

Còn viết thêm câu nữa để câu like mới kinh chứ, lạy.

 

đùa thui chứ vẫn phải cảm ơn, cảm ơn anh nhiều ạ.  

Đã bảo là khỏi cảm ơn rồi mà, nói rồi không nghe

[buingoctu]

Đã bảo là khỏi cảm ơn rồi mà, nói rồi không nghe

Vãi. Chịu.