Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)\,\forall x,\,y\in \mathbb{N}\,\text{và}\, x\geq y$

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)\,\forall x,\,y\in \mathbb{N}\,\text{và}\, x\geq y$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 15-01-2018 - 21:00

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Giả sử hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)\,\forall x,\,y\in \mathbb{N}\,\text{và}\, x\geq y\,(1)$$
$T_{(1)}(0,0)\Rightarrow f(0)^2=0\Rightarrow f(0)=0$
$T_{(1)}(n,0\Rightarrow f(n^2)=f(n)^2$ (2)
$T_{(1)}(1,0)\Rightarrow f(1)=f(1)^2\Rightarrow f(1)=1\,\text{hay}\,f(1)=0$
Nếu $f(1)=0$:
$T_{(1)}(n+1,n)\Rightarrow f((n+1)^2)-f(n^2)=0\Rightarrow f((n+1)^2)=f(n^2)$
$\Rightarrow f(n+1)^2=f(n)^2\Rightarrow f(n+1)=f(n)$
$\Rightarrow f(n)=0\, \forall n$
Nếu $f(1)=1$:
$T_{(1)}(n,1)\Rightarrow f(n^2)-1=f(n+1)f(n-1)$
$T_{(1)}(n+1,1)\Rightarrow f((n+1)^2)-1=f(n)f(n+2)$
$\Rightarrow f((n+1)^2)-f(n^2)=f(n)f(n+2)-f(n+1)f(n-1)$
$T_{(1)}(n+1,n)\Rightarrow f((n+1)^2)-f(n^2)=f(2n+1)$
$\Rightarrow f(2n+1)=f(n)f(n+2)-f(n+1)f(n-1)$ (3)
$T_{(1)}(n+1,n-1\Rightarrow f((n+1)^2)-f((n-1)^2)=f(2n)f(2)$
$\Rightarrow f(2n)f(2)=f(n+1)^2-f(n-1)^2$
Đặt $f(2)=a$, $f(3)=b$
$T_{(2)}(2)\Rightarrow f(4)=a^2$
$T_{(3)}(2)\Rightarrow f(5)=f(2)f(4)-f(3)f(1)=a^3-b$
$T_{(1)}(5,4)\Rightarrow f(5^2)-f(4^2)=f(9)f(1)$
$\Rightarrow (a^3-b)^2-a^4=b^2$
$\Rightarrow a^6-2a^3b+b^2-a^4=b^2$
$\Rightarrow a^6-2a^3b-a^4=0$
$\Rightarrow a^3(a^3-2b-a)=0$
$\Rightarrow a=0\, \text{hay} \, 2b=a^3-a$
Nếu $a=0$: Cmtt ta có: $f(2k)=0\,\text{và}\,f(2k+1)=1$
Nếu $a\neq 0$, khi đó $2b=a^3-a$
$T_{(1)}(4,3)\Rightarrow f(4^2)-f(3^2)=f(7)f(1)\Rightarrow f(7)=f(4)^2-f(3)^2=a^4-b^2$
$T_{(3)}(3)\Rightarrow f(7)=f(3)f(5)-f(4)f(2)=b(a^3-b)-a^3$
$\Rightarrow a^4-b^2=a^3b-b^2-a^3$
$\Rightarrow a^4+a^3-a^3b=0$
$\Rightarrow a+1-b=0$ (do $a\neq 0$)
$\Rightarrow a+1=b=\frac{a^3-a}{2}$
$\Rightarrow a^3-3a+2=0\Rightarrow (a-2)(a^2+2a-1)=0\Rightarrow a=2\,(\text{do}\, a\in \mathbb{N})\Rightarrow b=3$
Khi đó ta có $2f(2n)=f(n+1)^2-f(n-1)^2$ (4)
Giả sử $f(m)=m$ với mọi $m\leqslant n$. Ta cần chứng minh $f(n+1)=n+1$:
Nếu $n+1$ chẵn, khi đó:
$f(n+1)=f(2.\frac{n+1}{2})=\frac{f(\frac{n+3}{2})^2-f(\frac{n-1}{2})^2}{2}=\frac{(\frac{n+3}{2})^2-(\frac{n-1}{2})^2}{2}=n+1$
Nếu $n+1$ lẻ, đặt $n+1=2k+1$ khi đó:
$f(2k+1)=f(k)f(k+2)-f(k+1)f(k-1)=k(k+2)-(k+1)(k-1)=2k+1$
Vậy $f(x)=x\,\forall x\in\mathbb{N}$
Thử lại, ta thấy tất cả các nghiệm đều thỏa.
Kết luận: $f(x)=0\,\forall x$ hay $f(2x)=0,\,f(2x+1)=1\,\forall x$ hay $f(x)=x\,\forall x$.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh