Gọi BH, BD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABC; và M,N lần lượt là trung điểm của AC và BH. Điểm K là giao điểm của MN với BD và L là trung điểm BD. Chứng minh rằng AK và AL đối xứng qua đường phân giác trong của góc BAC.

Chứng minh rằng AK và AL đối xứng qua đường phân giác trong của góc BAC.
#1
Đã gửi 13-01-2018 - 00:21
#2
Đã gửi 28-01-2018 - 20:01
Ta sẽ chứng minh $AK$ là đường đối trung của $\triangle{ADB}$ hay $$\dfrac{KD}{KB} = \dfrac{AD^2}{AB^2}$$
Thật vậy, áp dụng định lý $Menelaus$ và tính chất đường phân giác ta có $$\dfrac{KD}{KB} \cdot \dfrac{NB}{NH} \cdot \dfrac{MH}{MD} = 1$$ và $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$
Để ý $NB = NH$, suy ra ta cần chứng minh $$\dfrac{MD}{MH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$ hay $$\dfrac{CD-AD}{CH-AH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$
Chia hai vế cho $CH + AH = AC$ ta có $$\dfrac{CD - AD}{CH^2-AH^2} = \dfrac{AC}{(AB+CB)^2}$$
Chú ý $CH^2-AH^2 = CB^2-AB^2 = (CB+AB)(CB-AB)$, khi đó $$\dfrac{CD - AD}{CB - AB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$
Điều này luôn đúng do $$\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD-AD}{CB-AB} = \dfrac{AC}{AB+CB}. \quad \square$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Iceghost: 28-01-2018 - 20:02
#3
Đã gửi 12-02-2018 - 21:34
Ta sẽ chứng minh $AK$ là đường đối trung của $\triangle{ADB}$ hay $$\dfrac{KD}{KB} = \dfrac{AD^2}{AB^2}$$
Thật vậy, áp dụng định lý $Menelaus$ và tính chất đường phân giác ta có $$\dfrac{KD}{KB} \cdot \dfrac{NB}{NH} \cdot \dfrac{MH}{MD} = 1$$ và $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$
Để ý $NB = NH$, suy ra ta cần chứng minh $$\dfrac{MD}{MH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$ hay $$\dfrac{CD-AD}{CH-AH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$
Chia hai vế cho $CH + AH = AC$ ta có $$\dfrac{CD - AD}{CH^2-AH^2} = \dfrac{AC}{(AB+CB)^2}$$
Chú ý $CH^2-AH^2 = CB^2-AB^2 = (CB+AB)(CB-AB)$, khi đó $$\dfrac{CD - AD}{CB - AB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$
Điều này luôn đúng do $$\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD-AD}{CB-AB} = \dfrac{AC}{AB+CB}. \quad \square$$
Dạ em cảm ơn ạ ! Em xin lỗi vì hôm nay em mới thấy !
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, olympic
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Cho nửa $(O)$ đường kính $AB,C$ và $D$ là hai điểm trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại $C$ và $D$ cắt nhau tại $E$, $AD$ và $BC$ cắt nhaBắt đầu bởi NguyenHoaiTrung, 21-04-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
hình họcBắt đầu bởi doctor lee, 21-04-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
CMR: $\frac{4S_{BCD}}{S_{AMN}}\leq (\frac{BD}{AC})^{2}$Bắt đầu bởi conankun, 04-04-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
C/m E,M,K,F cùng nằm trên một đường tròn.Bắt đầu bởi conankun, 02-04-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
hình họcBắt đầu bởi huyenbui, 28-03-2018 ![]() |
|
![]() |
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh