Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng AK và AL đối xứng qua đường phân giác trong của góc BAC.

hình học olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 doanhtu2605

doanhtu2605

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lê Quý Đôn
  • Sở thích:Game

Đã gửi 13-01-2018 - 00:21

Gọi BH, BD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABC; và M,N lần lượt là trung điểm của AC và BH. Điểm K là giao điểm của MN với BD và L là trung điểm BD. Chứng minh rằng AK và AL đối xứng qua đường phân giác trong của góc BAC.



#2 Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Củ Chi
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 28-01-2018 - 20:01

Ta sẽ chứng minh $AK$ là đường đối trung của $\triangle{ADB}$ hay $$\dfrac{KD}{KB} = \dfrac{AD^2}{AB^2}$$

Thật vậy, áp dụng định lý $Menelaus$ và tính chất đường phân giác ta có $$\dfrac{KD}{KB} \cdot \dfrac{NB}{NH} \cdot \dfrac{MH}{MD} = 1$$ và $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$

Để ý $NB = NH$, suy ra ta cần chứng minh $$\dfrac{MD}{MH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$ hay $$\dfrac{CD-AD}{CH-AH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$

Chia hai vế cho $CH + AH = AC$ ta có $$\dfrac{CD - AD}{CH^2-AH^2} = \dfrac{AC}{(AB+CB)^2}$$

Chú ý $CH^2-AH^2 = CB^2-AB^2 = (CB+AB)(CB-AB)$, khi đó $$\dfrac{CD - AD}{CB - AB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$

Điều này luôn đúng do $$\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD-AD}{CB-AB} = \dfrac{AC}{AB+CB}. \quad \square$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Iceghost: 28-01-2018 - 20:02


#3 doanhtu2605

doanhtu2605

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lê Quý Đôn
  • Sở thích:Game

Đã gửi 12-02-2018 - 21:34

Ta sẽ chứng minh $AK$ là đường đối trung của $\triangle{ADB}$ hay $$\dfrac{KD}{KB} = \dfrac{AD^2}{AB^2}$$

Thật vậy, áp dụng định lý $Menelaus$ và tính chất đường phân giác ta có $$\dfrac{KD}{KB} \cdot \dfrac{NB}{NH} \cdot \dfrac{MH}{MD} = 1$$ và $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$

Để ý $NB = NH$, suy ra ta cần chứng minh $$\dfrac{MD}{MH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$ hay $$\dfrac{CD-AD}{CH-AH} = \dfrac{AC^2}{(AB+CB)^2}$$

Chia hai vế cho $CH + AH = AC$ ta có $$\dfrac{CD - AD}{CH^2-AH^2} = \dfrac{AC}{(AB+CB)^2}$$

Chú ý $CH^2-AH^2 = CB^2-AB^2 = (CB+AB)(CB-AB)$, khi đó $$\dfrac{CD - AD}{CB - AB} = \dfrac{AC}{AB + CB}$$

Điều này luôn đúng do $$\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD-AD}{CB-AB} = \dfrac{AC}{AB+CB}. \quad \square$$

Dạ em cảm ơn ạ ! Em xin lỗi vì hôm nay em mới thấy !







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, olympic

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh