Cho phương trình $ax^{3}- x^{2}+ bx- 1= 0$ có ba nghiệm thực dương (không nhất thiết phân biệt). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P= \frac{5a^{2}- 3ab+ 2}{a^{2}\left ( b- a \right )}$
Cho phương trình $ax^{3}- x^{2}+ bx- 1= 0$ có ba nghiệm thực dương (không nhất thiết phân biệt). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P= \frac{5a^{2}- 3ab+ 2}{a^{2}\left ( b- a \right )}$
Cho phương trình $ax^{3}- x^{2}+ bx- 1= 0$ có ba nghiệm thực dương (không nhất thiết phân biệt). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P= \frac{5a^{2}- 3ab+ 2}{a^{2}\left ( b- a \right )}$
gọi $x,y,z$ là 3 nghiệm của phương trình $ax^{3}- x^{2}+ bx- 1= 0$
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x+y+z=\frac{1}{a} & & & \\ \sum xy=\frac{b}{3} & & & \\ xyz=\frac{1}{a} & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=x+y+z\Rightarrow \sum xy\geq 9\Rightarrow b\geq 9a\Rightarrow b-a>0$
Khi đó $P=\frac{5-3\frac{b}{a}+\frac{2}{a^2}}{b-a}=\frac{5-3\sum xy+2(x+y+z)^2}{\frac{xy+yz+xz}{x+y+z}-\frac{1}{xyz}}$
$\Rightarrow P=\frac{5(x+y+z)-3(xy+yz+xz)(x+y+z)+2(x+y+z)^3}{xy+yz+xz-\frac{x+y+z}{xyz}}$
Lại có
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{xyz}\leq \frac{27}{(x+y+z)^3} & & \\ xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow P\geq \frac{5t+t^3}{\frac{t^2}{3}-\frac{27}{t^2}}\geq 12\sqrt{3}$ (Với $t=x+y+z$ đoạn này dùng đạo hàm để giải)
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, Hôm qua, 23:44 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ biết $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$Bắt đầu bởi kakachjmz, 20-04-2024 hsg, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh