Chủ đề này có 1 trả lời

[canletgo]

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}\right.$

 

[nmtuan2001]

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}\right.$

Từ PT(2): $x^2y^2-2xy+1=x^2-y^2+2$

$$x^2y^2-x^2+y^2-1=2xy$$

$$(x^2+1)(y^2-1)=2xy$$

$$(x+\frac{1}{x})(y-\frac{1}{y})=2$$

Từ PT(1): $(x^2+\frac{1}{x^2}+2)+(y^2+\frac{1}{y^2}-2)=5$, hay $(x+\frac{1}{x})^2+(y-\frac{1}{y})^2=5$.

Đặt $a=x+\frac{1}{x}, b=y-\frac{1}{y}$, ta có $ab=2$ và $a^2+b^2=5$.

$$a^2+\frac{4}{a^2}=5$$

$$a^4-5a^2+4=0$$

$$(a^2-1)(a^2-4)=0$$

Dễ thấy $a=\pm 1$ vô nghiệm thực $x$ nên ta có:

TH1: $a=2$, thì $b=1$. Ta được $x=1$ và $y=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

TH2: $a=-2$, thì $b=-1$. Ta được $x=-1$ và $y=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$