Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

$\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b} \right )> 25$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 hangnguyen2003

hangnguyen2003

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-01-2018 - 18:24

Cho a,b,c đều dương. Chứng minh: $\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b}+1 \right )> 25$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangnguyen2003: 14-01-2018 - 21:07

It doesn't matter if you're the slowest kid in gym class or the fastest man alive. Every one of us is running, being alive is running, running from something, running to something or someone. And no matter how fast you are. There's some things you can't outrun. Some things always manage to catch up to you.

                                                                                                                                                                             ___ THE FLASH ___ 


#2 YoLo

YoLo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Không gian vô định
  • Sở thích:Làm những gì mình thích

Đã gửi 14-01-2018 - 22:22

Cho a,b,c đều dương. Chứng minh: $\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b}+1 \right )> 25$

đặt b+c=x , a+b=z, c+a=y

=> a=(y+z-x)/2 tương tự với b,c

Khi đó bđt cần cm <=> (2y+2z-x)(2z+2x-y)(2x+2y-z)>25xyz

phá ra xét hiệu


Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#3 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 15-01-2018 - 22:44

Cho a,b,c đều dương. Chứng minh: $\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b}+1 \right )> 25$

Đặt $\frac{2a}{b+c}=x,\frac{2b}{c+a}=y,\frac{2c}{a+b}=z$, thì $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=1$, hay 

$$xy+yz+zx+xyz=4$$

BĐT trở thành $(2x+1)(2y+1)(2z+1)>25$, hay $8xyz+4(xy+yz+zx)+2(x+y+z)>24=6(xy+yz+zx+xyz)$

$$2xyz+2(x+y+z)>2(xy+yz+zx)$$

Ta sẽ chứng minh $x+y+z \geq xy+yz+zx$.

Cách đơn giản nhất là thay $x,y,z$ trở lại $a,b,c$ thì ta sẽ được BĐT Schur sau khi rút gọn.

Ngoài ra có cách phản chứng và cách sử dụng Dirichlet.

Cách sử dụng Dirichlet: Trong 3 số $x-1,y-1,z-1$ có ít nhất 2 số cùng dấu. Giả sử 2 số đó là $x-1$ và $y-1$, thì $(x-1)(y-1) \geq 0$.

Suy ra $xy+1 \geq x+y$.

$xyz+z \geq xz+yz$

$x+y+z+xyz \geq (x+y)(z+1)$. (1)

Ta có $4=xy+yz+zx+xyz \leq \frac{(x+y)^2}{4}+z(x+y)+z.\frac{(x+y)^2}{4}$

Do đó $z \geq \frac{4-\frac{(x+y)^2}{4}}{x+y+\frac{(x+y)^2}{4}}=\frac{4-x-y}{x+y}=\frac{4}{x+y}-1$

Suy ra $(z+1)(x+y) \geq 4$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x+y+z+xyz \geq 4=xy+yz+zx+xyz$, hay $x+y+z \geq xy+yz+zx$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh