Cho a,b,c đều dương. Chứng minh: $\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b}+1 \right )> 25$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangnguyen2003: 14-01-2018 - 21:07
Cho a,b,c đều dương. Chứng minh: $\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b}+1 \right )> 25$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangnguyen2003: 14-01-2018 - 21:07
It doesn't matter if you're the slowest kid in gym class or the fastest man alive. Every one of us is running, being alive is running, running from something, running to something or someone. And no matter how fast you are. There's some things you can't outrun. Some things always manage to catch up to you.
___ THE FLASH ___
Cho a,b,c đều dương. Chứng minh: $\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b}+1 \right )> 25$
đặt b+c=x , a+b=z, c+a=y
=> a=(y+z-x)/2 tương tự với b,c
Khi đó bđt cần cm <=> (2y+2z-x)(2z+2x-y)(2x+2y-z)>25xyz
phá ra xét hiệu
Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi
Cho a,b,c đều dương. Chứng minh: $\left (\frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left (\frac{4c}{a+b}+1 \right )> 25$
Đặt $\frac{2a}{b+c}=x,\frac{2b}{c+a}=y,\frac{2c}{a+b}=z$, thì $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=1$, hay
$$xy+yz+zx+xyz=4$$
BĐT trở thành $(2x+1)(2y+1)(2z+1)>25$, hay $8xyz+4(xy+yz+zx)+2(x+y+z)>24=6(xy+yz+zx+xyz)$
$$2xyz+2(x+y+z)>2(xy+yz+zx)$$
Ta sẽ chứng minh $x+y+z \geq xy+yz+zx$.
Cách đơn giản nhất là thay $x,y,z$ trở lại $a,b,c$ thì ta sẽ được BĐT Schur sau khi rút gọn.
Ngoài ra có cách phản chứng và cách sử dụng Dirichlet.
Cách sử dụng Dirichlet: Trong 3 số $x-1,y-1,z-1$ có ít nhất 2 số cùng dấu. Giả sử 2 số đó là $x-1$ và $y-1$, thì $(x-1)(y-1) \geq 0$.
Suy ra $xy+1 \geq x+y$.
$xyz+z \geq xz+yz$
$x+y+z+xyz \geq (x+y)(z+1)$. (1)
Ta có $4=xy+yz+zx+xyz \leq \frac{(x+y)^2}{4}+z(x+y)+z.\frac{(x+y)^2}{4}$
Do đó $z \geq \frac{4-\frac{(x+y)^2}{4}}{x+y+\frac{(x+y)^2}{4}}=\frac{4-x-y}{x+y}=\frac{4}{x+y}-1$
Suy ra $(z+1)(x+y) \geq 4$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $x+y+z+xyz \geq 4=xy+yz+zx+xyz$, hay $x+y+z \geq xy+yz+zx$.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh