Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} x= &1+ \frac{2x^{2}}{x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ w^{2}} & \\ y= &1+ \frac{2y^{2}}{x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ w^{2}} & \\ z= &1+ \frac{2z^{2}}{x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ w^{2}} & \\ w= &1+ \frac{2w^{2}}{x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ w^{2}} & \end{matrix}\right.$
Cộng 4 PT, ta được $x+y+z+w=6$.
Ta có $x^2+y^2+z^2+w^2 \geq \frac{(x+y+z+w)^2}{4}=9$
Suy ra $x=1+\frac{2x^2}{x^2+y^2+z^2+w^2} \leq 1+\frac{2x^2}{9}$, hay
$$2x^2-9x+9 \geq 0$$
$$(2x-3)(x-3) \geq 0$$
Do đó $x \leq \frac{3}{2}$ hoặc $x \geq 3$. Ta có điều kiện tương tự cho $y,z,w$.
Nếu $x \geq 3$
Mà dễ thấy $y,z,w \geq 1$, nên $x=6-y-z-w \leq 3$.
Suy ra $(x,y,z,w)=(3,1,1,1)$ và hoán vị. Thay vào không thoả mãn.
Tương tự ta suy ra các TH $y,z,w \geq 3$ cũng bị loại.
Vậy $x,y,z,w \leq \frac{3}{2}$, mà $x+y+z+w=6$ nên $x=y=z=w=\frac{3}{2}$.